線性代數--二次型

二次型化為矩陣表示式

二次型：每項的冪都是2
二次型的矩陣一定是對稱的
$$A^T=A$$
矩陣A：二次型的矩陣

標準型

只有平方項叫做標準型 平方項的係數可以取零

線性替換

X=CY 線性替換
$$\left|c\right|=0可逆稱為非退化替換\left|c\right|\ne 0不可逆稱為非退化替換$$

定理：

1. 二次型經過線性替換之後仍然是新的二次型的矩陣 仍然是對稱的
   

合同

$$A,B是n階方陣，存在可逆矩陣C,使得C^{T}AC=B$$

• 性質

1. 反身性
   
2. 對稱性
   
3. 傳遞性
   
4. 矩陣左乘可逆矩陣或右乘可逆矩陣秩不變
   
5. 
6. 
7. 

矩陣的關係

化二次型為標準型

有三種方法：

1. 配方法
   
   還有一步：
   
   只有交叉項的配方：
   有三個變數令：
   
   有四個變數令：
   
   然後帶入原式，再用配方
2. 初等變換
   $$\left(\begin{array}{c}A\\ E\end{array}\right)⟶\left(\begin{array}{c}\wedge \\ C\end{array}\right)$$
   
   
   
3. 正交替換
   

規範型

1. 正向個數叫正慣性指數
2. 負向個數叫負慣性指數
3. 相減叫符號差

有定性

• 有定的
  
• 不定的
  
  

有定性的判別

1. 正定二次型如果經過一次線性替換以後，仍是正定
   
   

順序主子式

正定性質

1. A正定 A逆正定
2. A正定 A伴隨正定
3. A正定 A的k次方也正定
4. A正定 B半正定 A+B正定
   
5. A正定 A的主對角元素大於0