線性代數12.矩陣的秩及相關性質

12.矩陣的秩及相關性質

12.1 k階子式

12.1.1 k階子式示例

設存在以下矩陣：

\[X_{mn}= \begin{bmatrix} x_{11} & x_{12} & x_{13} & ... & x_{1n}\\ x_{21} & x_{22} & x_{23} & ... & x_{2n}\\ x_{31} & x_{32} & x_{33} & ... & x_{3n}\\ &&......\\ x_{m1} & x_{m2} & x_{m3} & ... & x_{mn}\\ \end{bmatrix} \]

在矩陣中任選k行。如k=3，則有：

\[X_{mn}= \begin{bmatrix} \begin{array}{c} \mathbf{x_{11}} & \mathbf{x_{12}} & x_{13} & ... & \mathbf{x_{1n}}\\ \hline \mathbf{x_{21}} & \mathbf{x_{22}} & x_{23} & ... & \mathbf{x_{2n}}\\ \mathbf{x_{31}} & \mathbf{x_{32}} & x_{33} & ... & \mathbf{x_{3n}}\\ \hline &&......\\ \mathbf{x_{m1}} & \mathbf{x_{m2}} & x_{m3} & ... & \mathbf{x_{mn}}\\ \hline \end{array} \end{bmatrix} \]

以上分別選中第1行、第3行、第m行；第1列、第2列、第n列，則所選行列交叉處元素形成的行列式為：

\[\begin{vmatrix} {x_{11}} & {x_{12}}& {x_{1n}}\\ {x_{31}} & {x_{32}}& {x_{3n}}\\ {x_{m1}} & {x_{m2}}& {x_{mn}}\\ \end{vmatrix} \]

稱以上行列式為矩陣X的3階子式

12.1.2 k階子式的定義

在\(m\times n\)的矩陣中，任取k行和k列（行列數均為k），則所選行列交叉處的\(k^2\)個元素所形成的行列式成為原矩陣的k階子式，且k階子式共有\(C_m^k \cdot C_n^k個\)

12.2 矩陣的秩

12.2.1 矩陣的秩的定義

若矩陣X中存在一個不為0的r階子式D，且矩陣X的所有r+1階子式均為0

則稱數r為矩陣X的秩，記為R(X)；D為矩陣X的最高階非零子式。

12.2.2 矩陣的秩相關性質

• \(|X|=|X^T| \Rightarrow R(X)=R(X^T)\)

• \(n\)階方陣\(A\)的\(n\)階子式為\(|A|\)，且：\(\begin{cases}R(A)=n，|A| \neq0（A可逆）\\R(A)<n，|A|=0（A不可逆） \end{cases}\)

12.3 矩陣求秩的方法

12.3.1 常規矩陣求秩

求以下矩陣A的秩R(A)：

\[A= \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3\\ 2 & 3 & 5\\ 4 & 7 & 1 \end{bmatrix} \]

由計算可知，\(|A|=0\)，故\(R(A)<3\)

A的2階子式中，取較簡單的進行計算：

\[\begin{vmatrix} 1 & 2\\ 2 & 3 \end{vmatrix}=-1\neq0 \]

由此，可知R(A)=2。

12.3.2 行階梯形矩陣求秩

求以下行階梯形矩陣B的秩R(B)：

\[B= \begin{bmatrix} 2 & -1 & 0 & 3 & 2\\ 0 & 3 & 1 & -2 & 5\\ 0 & 0 & 0 & 4 & -3\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} \]

由\(B\)的第4行為全0行\(\;\Rightarrow |B|=0 \;\Rightarrow R(B)<4\)

故取\(B\)前3行中較簡單的3階子式（上三角行列式）進行計算：

\[\begin{vmatrix} 2 & -1 & 3\\ 0 & 3 & -2 \\ 0 & 0 & 4 \end{vmatrix}=2\times3\times4=24\neq0 \]

由此，可知R(B)=3

12.3.3 矩陣求秩方法總結

由常規求秩方法和行階梯矩陣求秩方法的對比可知：

• 常規求秩方法受限於複雜行列式的計算

• 而行階梯矩陣求秩方法透過靈活運用行列式相關性質，簡化了行列式計算過程，從而使矩陣求秩過程更為直觀（秩=非0行個數）

12.4 線性方程組與矩陣求秩

12.4.1 線性方程組與矩陣求秩示例

設某線性方程組\(Ax=b\)對應以下矩陣：

\[A= \begin{bmatrix} 1 & -2 & 2 & -1\\ 2 & -4 & 8 & 0\\ -2 & 4 & -2 & 3\\ 3 & -6 & 0 & -6\\ \end{bmatrix} \]

\[b= \begin{bmatrix} 1\\ 2\\ 3\\ 4 \end{bmatrix} \]

\[\Rightarrow (A,b) = \begin{bmatrix} 1 & -2 & 2 & -1 & 1\\ 2 & -4 & 8 & 0 & 2\\ -2 & 4 & -2 & 3 & 3\\ 3 & -6 & 0 & -6 & 4\\ \end{bmatrix} \]

對矩陣(A,b)進行線性變換（過程略）可得：

\[(A,b) = \begin{bmatrix} 1 & -2 & 2 & -1 & 1\\ 0 & 0 & 2 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ \end{bmatrix} \]

由以上結果矩陣可得方程組：

\[\begin{cases} x_1-2x_2+2x_3-x_4=1\;①\\ 2x_3+x_4=0\;②\\ 0=1\;③ \end{cases} \]

由方程組中③式可得：方程組無解
又由行階梯矩陣相關性質可得：\(R(A)=2, \;R(A,b)=3\)

故：原方程組無解，且原方程組對應的矩陣中：\(R(A)<R(A,b)\)

12.4.2 線性方程組與矩陣求秩相關定理

設存在以下線性方程組（m個方程，n個元）：

\[\begin{cases} a_{11}x_1+a_{12}x_2+...+a_{1n}x_n=b_1\\ a_{21}x_1+a_{22}x_2+...+a_{2n}x_n=b_2\\ ...\\ a_{m1}x_1+a_{m2}x_2+...+a_{mn}x_n=b_m\\ \end{cases} \]

則方程可轉化為以向量\(x\)為未知元的向量方程：

\[\tag{1} Ax=b \]

向量方程\(Ax=b\)滿足以下定理：

• \(R(A) < R(A,b) \Leftrightarrow 方程Ax=b無解\)
• \(R(A) = R(A,b)=n \Leftrightarrow 方程Ax=b有唯一解\)
• \(R(A) = R(A,b)<n \Leftrightarrow 方程Ax=b有無限多解\)

若向量方程為齊次方程（\(Ax=0\)），則滿足以下定理：

• \(R(A)<n \Leftrightarrow 齊次方程Ax=0有非零解\)

12.5 矩陣的秩相關性質總結

設存在矩陣\(A_{mn}, \;B_{mn},\; X_{nk}\)，並存在可逆矩陣\(P_{mm}，Q_{nn}\)，零矩陣\({\displaystyle O}\)，則：

• 秩的取值範圍：\(0 \leq R(A) \leq min\){\(m,n\)}（注：零矩陣的秩為0）
• 轉置矩陣求秩： \(R(A^T)=R(A)\)
• 等價矩陣求秩：\(A等價於B \Rightarrow R(A)=R(B)\)
• 初等變換求秩：\((P、Q可逆)\Rightarrow R(P\times A\times Q)=R(A)\)
• 拼接矩陣的秩範圍：\(max\left \{ R(A),R(B) \right \} \leq R(A,B) \leq R(A)+R(B)\)
• 列向量拼接矩陣的秩範圍：\(R(b)=1 \Rightarrow R(A) \leq R(A,b) \leq R(A)+1\)
• 矩陣相加的秩範圍：\(R(A+B)\leq R(A)+R(B)\)
• 矩陣相乘的秩範圍：\(R(A\cdot X) \leq min \left \{ R(A),R(X) \right \}\)
• 矩陣相乘為零矩陣：\(A\cdot X={\displaystyle O} \Rightarrow R(A)+R(X)<n\)