前言：
本系列為《線性代數的本質》的筆記，作者為3Blue1Brown大神，影片的b站連結為 https://www.bilibili.com/video/BV1ys411472E/?spm_id_from=333.999.0.0&vd_source=cb7d5dd830bc59a85c459b0b14a2e685
看了這個系列影片後我受益匪淺，為了方便後續回顧所以整理成了文字資料。我強烈建議看到這篇部落格的朋友們直接看影片，看完後，你可以把本文當做一種簡短的回顧。
《線性代數的本質》主要從線性變換的角度來解釋線性代數中的一系列概念，將線性代數的許多運算與空間座標系中的幾何變換聯絡了起來，為我們提供了理解諸多概念的全新角度。在看這個系列課程之前，我總是認為線性代數和其他數學學科的關係很弱，是一門基本獨立的數學學科。然而3b1b告訴我們，線性代數完全可以和幾何還有代數聯絡起來，並且以這種視角來看待線性代數中的許多概念，會比單純得從向量和矩陣的角度更加直觀、易於理解。最開始你可能會覺得作者的描述略顯普通，但後續的章節十分精彩，令人擊節稱歎。
01-向量究竟是什麼
物理學：向量是空間中的箭頭，長度和方向決定了唯一一個向量； 計算機專業：向量是數字的列表，用於建模一個物件的多個屬性 數學家：**向量可以是任何東西，只要保證 相加 和 數乘 有意義即可** 向量：座標系中的一組數，分別表示沿著座標軸走多遠。 向量相加：把向量看作一種運動，從原點出發，分別移動兩次 向量數乘：帶方向的縮放 以上兩種運算十分關鍵，在最後一節會解釋為什麼。02-線性組合·張成的空間和基
本章介紹線性組合和基的概念
二維空間中，基向量：\(\hat{i}\)向量\(\begin{pmatrix}1 \\0\end{pmatrix}\)和\(\hat{j}\)向量\(\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}\)。構成一個座標的兩個標量分別縮放了這兩個基向量。
基向量是可以自由選擇的，選擇一組新的基，透過改變座標的兩個標量（線性組合），也可以表示出空間中全部向量（張成的空間），除非兩個向量共線。
張成的空間：可以擴充出來的所有向量的集合
把向量看作空間中的點，二維空間中，兩個特定的向量可以張成一個平面；三維向量中，如果第三個向量不與前兩個共面，則可以獲取整個三維空間。
如果一組向量中，至少有一個是多餘的，即沒有對張成空間做出貢獻，則可以說他們是線性相關的，或者說其中一個可以用其他的向量線性表示。反之，每個向量的加入都增加了張成空間的維度，則可以說他們是線性無關的。
03-矩陣與線性變換
本章是理解後續章節的重要一章，也是我個人認為相當精彩的一章。本章的重點是線性變換的概念。
變換：是一種函式
線性變換：空間中的直線在變換後依舊是直線，原點的位置保持不變。（網格線保持平行並且等距分佈）
- 問：如何用數字描述這種線性變換？
- 答：只需關心基向量的變化。假設一次線性變換之後 \(\hat{i}\) 變為\(\begin{pmatrix}1 \\-2\end{pmatrix}\)，\(\hat{j}\) 變為\(\begin{pmatrix}3\\0\end{pmatrix}\)，原本為\(\begin{pmatrix}-1\\2\end{pmatrix}\)的向量現在變到了新的位置
更為一般的情況，在這個變換過程中，任何空間中的向量，會像這樣變化：
一個二維的線性變換完全由四個數字決定（i和j的座標）。
我們將他們包裝成2*2的方塊，以此來定義矩陣和向量的乘法。
特例：當變化後的兩個基向量線性相關時，空間被擠壓成了一條直線。
總結：矩陣是一種對線性變換的描述。