10-特徵值與特徵向量
特徵向量幾何含義：在一次特定的線性變換中沒有脫離原本張成空間的向量。特徵值即為這個特徵向量在這次變換中縮放的比例。 推導： $$ A\vec{v}=\lambda\vec{v} $$ $$(A-\lambda\textit{I})\vec{v}=\vec{0}$$ $$det(A-\lambda\textit{I})=0$$ 但並非所有線性變換都有對應的特徵值，例如旋轉。不同特徵向量可能有相同的特徵值。 一種特殊的情況：所有的基向量都是特徵向量，此時A為對角陣（只有對角線上有值，其餘為0）。並且對角線上的值即為每個基向量的特徵值。快速計算矩陣的冪：先求出這個矩陣對應的特徵向量。如果有能夠張成全空間的特徵向量組，就可以 以其中一組特徵向量作為基座標轉換後的基向量。基座標轉換的方式詳見上一章。這樣，這些基向量受到的相同變換一定是一個對角陣（因為在這個新的座標系下，基向量是特徵向量）。這樣對原本矩陣的求冪，可以轉換成對新的對角陣求冪然後再轉換到原本的矩陣，即所謂的矩陣快速冪。
