高等代數1 矩陣
矩陣的基本運算
矩陣概念
由\(sn\)個數排成的\(s\)行（橫的）\(n\)列（縱的）表
稱為一個\(s \times n\)矩陣。
相等
只有完全一樣的矩陣才相等。
加法
為了確定起見，我們取定一個數域\(P\)，以下討論的矩陣全是由數域\(P\)中的陣列成的。
矩陣的加法就是矩陣對應的元素相加。相加的矩陣必須有相同的行數和列數。
矩陣的加法歸結為他們的元素的加法。
結合律
\(A+(B+C)=(A+B)+C\)
交換律
\(A+B=B+A\)
零矩陣
元素全為零的矩陣稱為零矩陣，記為\(O\)。
顯然有，\(A+O=A\)
減法
負矩陣
矩陣\(A\)的負矩陣記為\(-A\), 有\(A+(-A)=O\)
減法：\(A-B=A+(-B)\)
轉置
把一矩陣\(A\)的行列互換，得到的矩陣稱為\(A\)的轉置，記為\(A'(A^T)\)。
轉置有以下規律
共軛
數量乘法
用數\(k\)乘矩陣就是把矩陣的每一個元素都乘以\(k\)。
矩陣的數量乘積有以下規律
數量矩陣
矩陣\(kE\)稱為數量矩陣。
如果\(A\)是一個\(n\times n\)的矩陣，那麼有 \(kA=(kE)A=A(kE)\)，這個式子說明數量矩陣與所有的\(n \times n\)矩陣作乘法是可交換的。
可以證明，如果\(A\)與所有的\(n\)級矩陣可交換，那麼\(A\)一定是數量矩陣，即\(A=aE\)。
對稱矩陣、反稱矩陣
對稱矩陣： 如果\(A'=A\)，矩陣\(A\)稱為對稱的。
反稱矩陣：如果\(A'=-A\)，矩陣\(A\)稱為反稱的。
任一\(n\times n\)矩陣都可以表示為一對稱矩陣和一反稱矩陣之和。
矩陣相乘
設 \(A=(a_{ik})_{sn}，B=(b_{kj})_{nm}\)，那麼矩陣\(C=(c_{ij})_{sm}\)，其中\(c_{ij}=a_{i1}b_{1j}+a_{i2}b_{2j}+\cdots++a_{in}b_{nj}= \sum_{k=1}^{n}a_{ik}b_{kj}\)
稱為\(A\)與\(B\)的乘積，記為\(C=AB\)。
矩陣\(A,B\)乘積\(C\)的第\(i\)行第\(j\)列的元素等於第一個矩陣\(A\)的第\(i\)行與第二個矩陣\(B\)的第\(j\)列的對應元素乘積的和。
當然在矩陣乘積定義中我們要求第二個矩陣的行數和第一個矩陣的列數相等。
單位矩陣
主對角線上的元素都是\(1\)，其餘元素都是\(0\)的\(n\times n\)矩陣稱為\(n\)級單位矩陣，記作\(E_n\)，或簡單記為\(E\)
顯然有
\(A_{sn}E_{n}=A_{sn}\)
\(E_{n}A_{sn}=A_{sn}\)
結合律
設\(A=(a_{ij})_{sn}，B=(b_{jk})_{nm}，C=(c_{kl})_{mr}\)
\((AB)C=A(BC)\)
不適合交換律
矩陣的乘法不適合交換律，即一般來說\(AB\neq BA\).
兩個不為零的矩陣的乘積可以是零。
矩陣乘法的消去律不成立。
可交換矩陣
如果\(AB=BA\)，矩陣\(B\)就稱為與\(A\)可交換。
乘法和加法的分配律
矩陣的方冪
方冪只能對行數和列數相等的矩陣定義
設\(A\)是一\(n\times n\)矩陣，定義\(A^1=A,A^{k+1}=A^k A\)，話句話說\(A^k\)就是\(k\)個\(A\)相乘。
由乘法的結合律有，\(A^k A^l=A^{k+l} \\ (A^k)^l=A^{kl}\)
矩陣的逆
\(n\)級方陣\(A\)稱為可逆的，如果有\(n\)級矩方陣\(B\),使得
這裡的\(E\)指的是單位矩陣。
-
由於矩陣的乘法規則，只有方陣才能滿足(4)
-
對於任意矩陣\(A\)，適合等式(4)的矩陣\(B\)是唯一的（如果有的話）。
如果矩陣\(B\)適合(4),那麼\(B\)就稱為\(A\)的逆矩陣，記作\(A^{-1}\).
對於\(n\)級方陣\(A,B\)，如果\(AB=E\),那麼\(A,B\)就都是可逆的並且它們互為逆矩陣。
矩陣可逆條件
- 伴隨矩陣
設矩陣\(A_{ij}\)是矩陣
中元素\(a_{ij}\)的代數餘子式，矩陣
稱為\(A\)的伴隨矩陣。‘
由行列式按一行（列）展開的公式立即得出
如果\(d=|A| \neq 0\)，那麼由(7)得
- 定理
矩陣\(A\)是可逆的充分必要條件是\(A\)非退化,而\(A^{-1}=\frac{1}{d} A^{*} (d=|A|\neq 0)\)。
推論
如果矩陣\(A、B\)可逆，那麼\(A'\)與\(AB\)也可逆，且
$(A')^{-1}=(A^{-1})' \(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1} $
矩陣初等變換
初等行變換
數域\(P\)上矩陣的初等行變換是指下面三種變換：
-
以\(P\)中一個非零的數乘矩陣的某一行；
-
把矩陣的某一行的\(c\)倍加到另一行，這裡的\(c\)是\(P\)中任意一個數；
-
互換矩陣中兩行的位置。
任意一個矩陣經過一系列初等行變換總能變成階梯形矩陣
初等列變換
- 以數域\(P\)中一非零數乘矩陣的某一列；
- 把矩陣的某一列的\(c\)倍加到另一列，這裡\(c\)是數域\(P\)中任意一個數；
- 互換矩陣兩列的位置。
初等變換
矩陣的初等行變換與列變換統稱為初等變換。
初等矩陣
由單位矩陣\(E\)經過一次初等變換得到的矩陣稱為初等矩陣。
顯然初等矩陣都是方陣。每一個初等變換都有一個相應的初等矩陣。
- 互換矩陣的\(i\)行與\(j\)行的位置；
- 用資料\(P\)的非零數\(c\)乘\(E\)的\(i\)行；
- 把矩陣\(E\)的\(k\)倍加到\(i\)行；
- 同樣可以得到與列變換相應的初等矩陣。
初等矩陣都是可逆的，他們的逆矩陣還是初等矩陣。
- 引理：
對一個\(s \times n\)矩陣\(A\)作一初等行變換就相當於在\(A\)的左邊乘上相應的$s \times $初等s矩陣，
對\(A\)作一初等列變換就相當於在\(A\)的右邊乘上相應的\(n \times n\)的初等矩陣
等價
矩陣\(A\)和\(B\)稱為等價的，如果\(B\)可以由\(A\)經過一系列初等變換得到
等價是矩陣間的一種關係。不難證明，它具有自反性、對稱性、傳遞性。
階梯形矩陣
我們把形式如
的矩陣稱為階梯形矩陣。它們的任一行從第一個元素起至該行的第一個非零元素所在的下方全為零。如果該行為零，則它的下面的行也全為零。
任意一個矩陣經過一系列初等行變換總能變成階梯形矩陣。
標準形
- 定理
任意一個\(s \times n\)矩陣\(A\)都與一形式為
的矩陣等價，它稱為矩陣的標準形，主對角線上1的個數等於矩陣\(A\)的秩（1的個數可以是零）。
等價判定
根據引理,對矩陣作初等變換就相當於用相應的初等矩陣去乘這個矩陣。
- 矩陣\(A,B\)等價的充分必要條件是有初等矩陣\(P_1,\cdots ,P_l ,Q_1 ,\cdots ,Q_t\)使
矩陣初等變換與逆矩陣
\(n\)級可逆矩陣的秩為\(n\)，所以可逆矩陣的標準形為單位矩陣；反過來也是對的。
- 定理 \(n\)級可逆矩陣\(A\)為可逆的充分必要條件是它能表示為一些初等矩陣的乘積
-
推論1 兩個\(s \times n\)矩陣\(A、B\)等價的充分必要條件為，存在可逆的\(s\)級矩陣\(P\)與可逆的\(n\)級矩陣\(Q\)，使\(A=PBQ\)
-
推論2 可逆矩陣總可以經過一系列初等行變換化為單位矩陣。
求逆矩陣的方法
設\(A\)是一個\(n\)級可逆矩陣。由推論2，有一系列矩陣\(P_1,\cdots ,P_m\)使
由上式得
上述兩個式子說明，如果用一系列初等行變換把可逆矩陣\(A\)化為單位矩陣，那麼同樣地用這一系列初等行變換去化單位矩陣就能得到\(A^{-1}\)。
把\(A,E\)這兩個\(n \times n\)矩陣放在一起，作為一個\(n \times 2n\)矩陣 \((A,E)\)，按矩陣的分塊乘法把(12),(13)合併有
(15)式提供了一個具體求逆矩陣的方法。
作\(n \times 2n\)矩陣\((A,E)\)用初等行變換把它的左邊一半化為\(E\)，這時，右邊的一半就是\(A^{-1}\)。
矩陣的秩
-
行秩、列秩
矩陣的行秩就是指矩陣的行向量組的秩，矩陣的列秩就是矩陣的列向量組的秩
-
定理
矩陣的行秩與列秩相等。所以統稱為矩陣的秩
秩與行列式的關係
-
子式
在一個\(s \times n\)矩陣\(A\)中任意選定\(k\)行和\(k\)列，位於這些選定的行和列的交點上的\(k^2\)個元素按著原來的次序所組成的\(k\)級行列式，稱為\(A\)的一個\(k\)級子式。當然有\(k \leq min(s,n)\)
-
定理
一矩陣的秩是\(r\)的充分必要條件為矩陣中有一個\(r\)級子式不為零，同時所有\(r+1\)級子式全為零。
-
定理
\(n \times n\)矩陣
\[A=\left ( \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots &\ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \\ \end{matrix} \right ) \]的行列式為零的充分必要條件是\(A\)的秩小於\(n\)。
計算矩陣的秩
首先，矩陣的初等行變換是把行向量變成一個與之等價的向量組。等價的向量組有相同的秩，因此，初等行變換不改變矩陣的秩。同樣，初等列變換也不改變矩陣的秩。
其次，階梯形矩陣的秩就等於其中非零行的數目。
為了計算一個矩陣的秩，只要用初等行變換把它變成階梯形矩陣，這個階梯形矩陣中非零行的個數就是原來矩陣的秩。
矩陣加法的秩
\(秩(A+B)\leq 秩(A)+秩(B)\)
矩陣乘積的秩
-
定理
設\(A\)是數域\(P\)上$n \times \(m矩陣，\)B\(是數域\)P\(上\)m \times s$矩陣，於是
\[秩(AB) \leq min[秩(A),秩(B)] \]即乘積的秩不超過各因子的秩。
-
推論 用數學歸納法可以推廣到多個因子的情形，
如果\(A=A_1A_2\cdots A_t\)，那麼\(秩(A) \leq \min_{1 \leq j \leq t}秩(A_j)\)
矩陣與行列式
矩陣的行列式
對於\(n\)級方陣
其行列式為
行列式的計算
一個\(n\)階行列式可以看成由一個\(n\)級方陣\(A\)決定的，對於矩陣可以進行初等行變換變為階梯形方陣，階梯形方陣的行列式是上三角形的，也就等於對角線元素的乘積。
行列式的性質
- 一個數乘行列式的一行等於用這個數乘這個行列式，或說 一行的公因子可以提出去。
- 把一行的倍數加到另一行，行列式不變。
- 對換行列式中兩行的位置，行列式反號。
由行列式的性質可以得知方陣進行初等行變換對行列式的值影響。
乘積的行列式
-
定理
設\(A,B\)是數域\(P\)上的兩個\(n \times n\)矩陣，那麼
即矩陣乘積的行列式等於它的因子的行列式的乘積。
- 推論1 推廣到多個因子的情形
設\(A_1,A_2,\cdots ,A_m\)都是數域\(P\)上的\(n \times n\)矩陣，於是\(|A_1A_2\cdots A_m|=|A_1||A_2|\cdots|A_m|\)
非退化矩陣
數域\(P\)上的\(n \times n\)矩陣\(A\)稱為非退化的，如果\(|A| \neq 0\)；否則稱為退化的。
-
推論2
設\(A、B\)是數域\(P\)上\(n \times n\)矩陣，矩陣\(AB\)為退化的充分必要條件是\(A、B\)中至少有一個是退化的。
矩陣的分塊
把一個大矩陣看作是由一些小矩陣組成的，就如矩陣是由陣列成的。特別在運算中，把這些小矩陣當做數來處理。這就是矩陣的分塊
分塊方法
-
把矩陣按塊分。
設\(A=(a_{ik})_{sn},B=(b_{kj})_{nm}\)，把\(A,B\)分成一些小矩陣其中各個\(A_{ij}\)是\(s_i \times n_j\)小矩陣，\(B_{ij}\)是\(n_i \times m_j\)小矩陣.
注意矩陣\(A\)的列的分法必須與矩陣\(B\)的行的分法一致。
-
把矩陣按行或列分 。可以看出\(AB\)的行向量是\(B\)的行向量的線性組合，\(AB\)的列向量是\(A\)的列向量的線性組合。
對角矩陣
對角矩陣 形式為
的矩陣，其中\(a_i\)是數\((i=1,2,\cdots,l)\)，通常稱為對角矩陣。
**準對角矩陣 **形式為
的矩陣，其中\(A_i\)是\(n_i \times n_i\)矩陣\((i=1,2,\cdots,l)\)，通常稱為準對角矩陣。
上（下）三角形矩陣
上三角形 矩陣\(A=(a_{ij})\)稱為上三角形矩陣，如果\(i>j\)時有\(a_{ij}=0\)
下三角形 矩陣\(A=(a_{ij})\)稱為下三角形矩陣，如果\(i<j\)時有\(a_{ij}=0\)
兩個上（下）三角形矩陣的乘積仍然是上（下）三角形矩陣。
證明：
可逆的上（下）三角形矩陣的逆仍是上（下）三角形矩陣。
分塊乘法的初等變換
將單位矩陣進行分塊
對它進行
-
兩行（列）對換，得到
\[\left ( \begin{matrix} O &E_m \\ E_n &O \end{matrix} \right ) \] -
某一行（列）左乘（右乘）一個矩陣\(P\)，得到
\[\left ( \begin{matrix} P &O \\ O &E_n \end{matrix} \right ) ， \left ( \begin{matrix} E_m &O \\ O &P \end{matrix} \right ) \] -
一行（列）加上另一行（列）的\(P\)（矩陣）倍數
\[\left ( \begin{matrix} E_m &P \\ O &E_n \end{matrix} \right ) ， \left ( \begin{matrix} E_m &O \\ P &E_n \end{matrix} \right ) \]
和初等矩陣與初等變換的關係一樣，用這些矩陣左乘任何一個分塊矩陣，只要分塊乘法能夠進行，其結果就是對它進行相應的變換
-
\[\left ( \begin{matrix} O &E_m \\ E_n &O \end{matrix} \right ) \left ( \begin{matrix} A &B \\ C &D \end{matrix} \right ) = \left ( \begin{matrix} C &D \\ A &B \end{matrix} \right ) \]
-
\[\left ( \begin{matrix} P &O \\ O &E_n \end{matrix} \right ) \left ( \begin{matrix} A &B \\ C &D \end{matrix} \right ) = \left ( \begin{matrix} PA &PB \\ C &D \end{matrix} \right ) \]
-
\[\left ( \begin{matrix} E_m &O \\ P &E_n \end{matrix} \right ) \left ( \begin{matrix} A &B \\ C &D \end{matrix} \right ) = \left ( \begin{matrix} A &B \\ C+PA &D+PB \end{matrix} \right ) \]
可以適當選擇\(P\)，使得\(C+PA=O\)，例如當\(A\)可逆時，選\(P=-CA^{-1}\)，則\(C+PA=O\)
應用舉例——求逆矩陣
求
的逆矩陣，其中\(A,B\)分別是\(k\)級和\(r\)級的可逆矩陣，\(C\)是\(r \times k\)矩陣，\(O\)是\(k \times r\)零矩陣。
首先 \(|D|=|A||B|\)，所以當\(A,B\)可逆時，\(D\)也可逆。
-
方法1，分塊矩陣乘法
設
\[D=\left ( \begin{matrix} X_{11} &X_{12}\\ X_{21} &X_{22} \end{matrix} \right ) \]於是
\[\left ( \begin{matrix} A &O \\ C &B \end{matrix} \right ) \left ( \begin{matrix} X_{11} &X_{12} \\ X_{21} &X_{22} \end{matrix} \right ) = \left ( \begin{matrix} E_{k} &O \\ O &E_{r} \end{matrix} \right ) \]這裡的\(E_k,E_r\)分別表示\(k\)級和\(r\)級單位矩陣，乘出並比較等式兩邊，得
\[\begin{cases} AX_{11}=E_{k} \\ AX_{12}=O \\ CX_{11}+BX_{21}=O \\ CX_{12}+BX_{22}=E_{r} \\ \end{cases} \]解得
\[\begin{cases} X_{11}=A^{-1} \\ X_{12}=O \\ X_{21}=-B^{-1}CA^{-1} \\ X_{22}=B^{-1} \\ \end{cases} \]因此
\[D^{-1}= \left ( \begin{matrix} A^{-1} &O\\ -B^{-1}CA^{-1} &B^{-1} \end{matrix} \right ) \]特別地，當\(C=O\)時，有
\[\left ( \begin{matrix} A &O \\ O &B \end{matrix} \right ) ^{-1} = \left ( \begin{matrix} A^{-1} &O \\ O &B^{-1} \end{matrix} \right ) \] -
方法2， 初等變換
由(31)式有
\[\left ( \begin{matrix} E_m &O \\ -CA^{-1} &E_n \end{matrix} \right ) \left ( \begin{matrix} A &O \\ C &B \end{matrix} \right ) = \left ( \begin{matrix} A &O \\ O &B \end{matrix} \right ) \]及
\[\left ( \begin{matrix} A &O \\ O &B \end{matrix} \right ) ^{-1} = \left ( \begin{matrix} A^{-1} &O \\ O &B^{-1} \end{matrix} \right ) \]易知
\[D^{-1} = \left ( \begin{matrix} A^{-1} &O \\ O &B^{-1} \end{matrix} \right ) \left ( \begin{matrix} E_m &O \\ -CA^{-1} &E_n \end{matrix} \right ) =\left ( \begin{matrix} A^{-1} &O\\ -B^{-1}CA^{-1} &B^{-1} \end{matrix} \right ) \]
矩陣與線性方程組的求解
齊次線性方程組
判斷有無非零解
-
方程個數
在齊次線性方程組
\[\begin{cases} a_{11}x_1 +a_{12}x_2+\cdots +a_{1n}x_n=0 \\ a_{21}x_1 +a_{22}x_2+\cdots +a_{2n}x_n=0 \\ \ \ \ \cdots \cdots \\ a_{s1}x_1 +a_{s2}x_2+\cdots +a_{sn}x_n=0 \\ \end{cases} \]中，如果\(s<n\)（方程個數<未知數個數），那麼他必有非零解。
-
係數矩陣的秩
齊次線性方程組
-
的係數矩陣
的行秩\(r<n\)，那麼它有非零解。
-
係數矩陣的行列式
齊線性方程組
有非零解的充分必要條件是它的係數矩陣
的行列式等於零。
性質
- 兩個解的和還是方程組的解。
- 一個解的倍數還是方程組的解。
解的線性組合還是方程組的解。
基礎解系
齊次線性方程組（6）的一組解\(\eta_1,\eta_2,\cdots,\eta_t\)稱為（6）的一個基礎解系，如果
- （6）的任意一個解都能表示成\(\eta_1,\eta_2,\cdots,\eta_t\)的線性組合；
- \(\eta_1,\eta_2,\cdots,\eta_t\)線性無關
具體找基礎解系的方法
-
定理
在齊次線性方程組有非零解的情況下，它有基礎解系，並且基礎解系所含解的個數等於\(n-r\)，這裡\(r\)表示係數矩陣的秩（\(n-r\)也就是自由未知量的個數）。
任何一個線性無關的與某一個基礎解系等價的向量組都是基礎解系。
設方程組的係數矩陣的秩為\(r\)，方程組可以改寫為
-
如果\(r=n\)，方程組沒有自由未知量，方程組右端為零，方程組只有零解。
-
分別用\(n-r\)組數\((1,0,\cdots,0),(0,1,\cdots,0),\cdots,(0,0,\cdots,1)\)來代替自由未知量\((x_{r+1},x_{r+2},\cdots,x_n)\)，就得出方程組的\(n-r\)個解
\[\begin{cases} \eta_1=(c_{11},\cdots,c_{1r},1,0,\cdots,0) \\ \eta_2=(c_{21},\cdots,c_{2r},0,1,\cdots,0) \\ \ \ \ \cdots \cdots \\ \eta_{n-r}=(c_{n-r,1},\cdots,c_{n-r,r},0,0,\cdots,1) \\ \end{cases} \]上式就是一個基礎解系，方程的任意一個解都可以由它表示出來。
一般線性方程組
矩陣
稱為係數矩陣。
矩陣
稱為增廣矩陣。
有解的判別
- 線性方程組（1）有解的充分必要條件是它的係數矩陣\(A\)和增廣矩陣\(\bar A\)有相同的秩。
-
用初等行變換將增廣矩陣化為階梯形矩陣。
-
如果係數矩陣與增廣矩陣有相同的秩，方程組有解；
- 當增廣矩陣的秩等於未知數個數時，方程組有唯一解；
- 當增廣矩陣的秩小於未知數個數時，方程有無窮多個解。
-
當增廣矩陣的秩等於係數矩陣的秩加1時，方程組無解。
-
解的結構 匯出組
- 匯出組：把一般線性方程組\[\begin{cases} a_{11}x_1 +a_{12}x_1+\cdots +a_{1n}x_1=b_1 \\ a_{21}x_1 +a_{22}x_1+\cdots +a_{2n}x_1=b_2 \\ \ \ \ \cdots \cdots \\ a_{s1}x_1 +a_{s2}x_1+\cdots +a_{sn}x_n=b_s \\ \end{cases} \]的常數項換為\(0\)，就得到齊次線性方程組，\[\begin{cases} a_{11}x_1 +a_{12}x_1+\cdots +a_{1n}x_1=0 \\ a_{21}x_1 +a_{22}x_1+\cdots +a_{2n}x_1=0 \\ \ \ \ \cdots \cdots \\ a_{s1}x_1 +a_{s2}x_1+\cdots +a_{sn}x_n=0 \\ \end{cases} \]所得到的齊次線性方程組（17）稱為原一般線性方程組（16）的匯出組。
原一般線性方程組和它的匯出組的解之間的關係
- 線性方程組（15）的兩個解的差是它的匯出組（16）的解。
- 線性方程組（15）的一個解與它的匯出組（16）的一個解之和還是這個線性方程組的一個解。
-
定理
如果\(\gamma_0\)是方程組（15）一個特解，那麼方程組（15）的任何一個解\(\gamma\)都可以表成
\[\gamma=\gamma_0+\eta \]其中\(\eta\)是匯出組（16）的一個解。
因此，對於方程組(15)的任一個特解\(\gamma_0\)，當\(\eta\)取遍它的匯出組的全部解時，（17）就給出（15）的全部解。
-
如果\(\gamma_0\)是方程組（15）的一個特解，\(\eta_1,\eta_2,\cdots,\eta_s\)是其匯出組的一個基礎解系，那麼（15）的任一個解\(\gamma\)都可以表成
\[\gamma=\gamma_0+k_1\eta_1+k_2\eta_2+\cdots+k_{n-r}\eta_{n-r} \] -
推論 在方程組（15）有解的條件下，解是唯一的充分必要條件是它的匯出組（1）只有零解。