人工智慧數學基礎----矩陣

JerryloveEmily發表於2018-06-12

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今天覆習矩陣,作為程式設計師,矩陣在程式中的應用想必或多或少都接觸過,特別是在影像變化演算法上的應用。


一、矩陣

1. 定義

矩陣(Matrix)是一個按照長方陣列排列的複數或實數集合,最早來自於方程組的係數及常數所構成的方陣。這一概念由19世紀英國數學家凱利首先提出。(此定義來自百度百科)

下面通過一個方程組來宣告一個矩陣(數學符號在PC上書寫真是很麻煩,不知道誰有好用的公式符號書寫軟體推薦下):

三元一次方程組
以上是一個三元一次方程組,根據矩陣的來源定義,有矩陣A如下圖
人工智慧數學基礎----矩陣

2. 矩陣的運算

2.1. 矩陣的加法

矩陣相加
從上圖中我們可以看出,矩陣A和矩陣B相加,它們都是2 x 2的矩陣,相加就是兩個矩陣對應的元素值的相加,比如:矩陣A的一行一列元素3和矩陣B的一行一列的元素-7相加,得到新的矩陣的一行一列元素-4,以此類推計算出一個新的矩陣。上圖中A+B計算的結果和B+A是一樣的,符合加法的交換律。 重新定義兩個矩陣A[2x2]和B[2x3]:

如此之醜的矩陣
矩陣A是2行2列,矩陣B是2行3列,如果A+B,根據上面兩個矩陣相加的計演算法則,會發現矩陣B的第三列元素沒有辦法相加。所以結論是: 當兩個矩陣相加的時候,這兩個矩陣的維數(行列個數)必須是相同的,比如要麼都是 2x2,要麼都是3x3等等。 同樣的如果是A+B+C三個或者更多的矩陣的相加計算方式也是一樣的。

2.2. 矩陣的減法

矩陣的減法計算
上圖可以看出,矩陣A-B的計算就是對應的每個元素的相減,而且有個規律是: 矩陣A-B = -(B-A),同矩陣加法一樣,做減法的兩個或者多個矩陣的維數(行列個數)必須是一樣的,否則無法進行減法運算。

2.3. 矩陣的乘法

矩陣的乘法
有矩陣AB,兩個矩陣相乘,A的a11(表示矩陣的第一行第一列元素)、a12 分別和B的第一列的兩個元素相乘後相加,作為新的矩陣的a11元素值。

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上圖就很清楚的描述了,矩陣乘法的計算規則。

人工智慧數學基礎----矩陣
假設有兩個矩陣CD,分別是C·DD·C,很明顯計算出的結果不相同,所以通常情況下矩陣的乘法是不滿足:乘法交換律的,即:C·DD·C

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如上圖,你會發現也不是任何兩個矩陣都能夠相乘,只有乘數矩陣A的列數和被乘矩陣B的行數相同的時候,兩個矩陣才能相乘。

3. 單位矩陣

在介紹單位矩陣之前,說介紹什麼是方陣,顧名思義,方陣就是方的,行數和列數一樣的矩陣,比如:

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像上圖這樣,行列一樣的矩陣就是方陣,這很直觀也很好理解。

單位矩陣,是一直特殊的方陣,它的所有元素由0和1組成,並且對角線的元素為1,其餘元素為0,當然一階的單位矩陣只含有一個元素1:I₁ = [1]。

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以上四個方陣都是單位矩陣,分別是I₂二階單位矩陣、I₃三階單位矩陣、四階和五階的單位矩陣。單位矩陣的階數可以無限擴大,比如n階的單位矩陣:

人工智慧數學基礎----矩陣
單位矩陣有一個特殊重要的性質,I·A = AA·I = A,這裡的矩陣A是一個和單位矩陣同個維數的方陣,不是方陣無法和單位矩陣相乘,這個性質很容易證明,舉個例子就知道了:
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反過來A·I 也等於A

4. 逆矩陣

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如上圖,如果一個矩陣可逆,那麼就會有性質:A^-1·A=II是一個單位矩陣。逆矩陣的求法,如上圖所示,逆矩陣 = 矩陣行列式的倒數值 * 矩陣A的伴隨矩陣。當矩陣A的行列式如果等於0,即ad - bc = 0,或者 a/c = b/d,那麼這個矩陣不存在逆矩陣(行列式的倒數1/|A|沒有定義),我們也稱這樣的矩陣叫 “奇異矩陣”


(未完待續。。。。)


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