方陣特徵值估計、圓盤定理、譜與譜半徑

特徵值是方陣和線性變換的重要指標，其計算需求解$n$次
多項式的根較複雜，而應用中有時並不需要求出其精確值。

特徵值估計

圓盤

設 $n$ 階方陣 $A=(a_{ij}{)}_{n\times n}$，稱集合 G i ( A ) = { λ ∣ ∣ λ − a i i ∣ ≤ ∑ j ≠ i ∣ a i j ∣ } G_i (A)=\{\lambda | |\lambda -a_{ii}| \le \sum_{j\neq i}{|a_{ij}|}\} Gi​(A)={λ∣∣λ−aii​∣≤∑j​=i​∣aij​∣}為$A$的第$i(i=1,...,n)$個圓盤（蓋爾圓）。

例題

分析：

• 按照每行為單位，進行計算就好
• 注意是在複平面畫圖，$y$軸的單位為$i$

此外，有連通部分的定義：交結在一起的圓盤所構成的最大連通區域。如上例題中，共有個2連通部分。

圓盤定理

定理：$n$階方陣的個特徵值均落在$A$的$n$個圓盤的並集之內。

即，$A=(a_{ij}{)}_{n\times n}$的每一個特徵值均至少滿足下列不等式之一：
$$|\lambda -a_{ii}|\le \sum _{j\ne i}|a_{ij}|,i=1,...,n$$

證明：圓盤定理

分析：

• 最終證明的目標是：對於任一特徵值$\lambda$，有$\lambda \in {\cup }_{j=1}^n{G}_j(A)$
• 在證明過程中，注意利用了特徵值不全為0並取$|{\xi }_{i0}|=\max |{\xi }_i|$、特徵值定義$A\xi =\lambda \xi$這兩條性質

定理：m個圓盤構成1個連通部分，該部分則有m個特徵值（分佈結構）

上面的圓盤定理沒有給出分佈結構，這裡給出。

設是由方陣$A$的$m$個圓盤組成的一個連通部分，則在$G$中必有且只有$A$的$m$個特徵值（圓盤相重時重複計數，特徵值相同時也重複計數）。

舉例子如上。

定理：具體分佈情況（縮小半徑）

如上，對圓盤半徑${\sum }_{j\ne i}|a_{ij}|$進行了類似相似的變換，以求縮小範圍。

我們可以通過這個變換，把相交的圓盤，進而確定特徵值具體分佈。

證明：縮小半徑

分析：

• 對$A$進行相似變換
• 過渡矩陣$B$為對角陣，且對角元素均大於1，因此可逆，可作為過渡矩陣
• 原理是：相似矩陣特徵值相同

例題：特徵值範圍

分析：將$b_3$設定為不等於$1$的數，實際上是在對$S_1$與$S_2$操作，因為在不等式$|\lambda -a_{ii}|\le \frac{1}{b_u}{\sum }_{j\ne i}|a_{ij}|b_j$中，我們有$j\ne i$。

譜半徑的估計

譜與譜半徑

譜是集合，譜半徑可以理解為最長的特徵值的模。

譜半徑的估計

ρ ( A ) ≤ min ⁡ { max ⁡ i ∑ j = 1 n ∣ a i j ∣ , max ⁡ j ∑ i = 1 n ∣ a i j ∣ } \rho(A) \le \min\{ \max_i \sum_{j=1}^n |a_{ij}|, \max_j \sum_{i=1}^n |a_{ij}|\} ρ(A)≤min{imax​j=1∑n​∣aij​∣,jmax​i=1∑n​∣aij​∣}

證明

這裡為何要引入轉置矩陣$A^T$呢？

• 轉置矩陣$A^T$一定相似與$A$，一定有相同譜半徑
• 可以縮小個範圍，提高精度，不用白不用

例題：譜半徑

譜半徑相應的特徵值稱為主特徵值，其特徵向量稱為主特徵向量。