人工智慧數學基礎----導數

JerryloveEmily發表於2018-06-10

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人工智慧

人工智慧數學基礎系列文章

人工智慧的學習對於數學要求還是需要一定的功底的，不管是演算法還是涉及到的名詞概念，都是建立在數學模型的基礎上來做訓練學習的，所以非常有必要把涉及到的數學知識都理解和梳理一遍，才能把思維從傳統的程式設計方式轉變過來。

這裡介紹的是一元函式(標量場)的導數，以後會介紹多元函式(向量或者多維矩陣場)導數，因為多元函式需要向量和矩陣相關的知識，會先介紹向量和矩陣相關之後，再來詳細介紹多元函式導數問題

一、導數

1. 定義

函式導數f'(x0)，就是函式f(x)在x0值處的導數，也是函式f(x)在x0這個點的切線斜率，這個點我們這裡用P點表示，如圖：

2. 求導的推導過程

我們知道高中的時候對於函式斜率的計算公式：y-y0 = m(x - x0)，其中m就是函式的斜率。具體我們要怎麼求出這斜率值或者導數呢。

上圖中，假設有一條直線l，與函式f(x)相交於p0和Q點，保持p0點不變，當Q點沿著函式f(x)向p0點無限靠近，P0點和Q點重合的時候，此時直線l就和P0的切線n重合，這是一個極限的無限趨於x0值（也就是P0點）的求解過程。上圖看出，P0點到Q點在x軸上的變化量是Δx，Q點的x值就是x0+Δx，Q點在y軸上的變化量就是Δy,或者叫Δf。

P0和Q點的座標是： P0( x0, f(x0) )，Q( x0+Δx, f(x0+Δx) ) 最開始我們提到了，斜率的計算公式y-y0 = m(x-x0)，m = (y - y0) / (x - x0)，m = Δf / Δx, 這是割線l的斜率，要求P0的斜率，則要引入極限的概念，斜率或者說導數的如下（當Δx趨近於0的時候，也就是變化量趨於0的時候，Q點和P0點重合）：

3. 求導例子

例子一

根據以上公式，舉個例子，有函式f(x) = 1/x，求在x0上的導數？

當Δx趨近於0的時候，函式1/x的導數是 -1/x^2。

例子二

函式1/x的導數求出來後，我們來解決一個有趣的問題，求出經過在函式f(x) = 1/x的點P的切線與座標軸交點所圍成的三角形的面積，如下圖求出三角形AOB的面積：

經過上面的學習，我們已經知道切線的方程：y-y0 = m(x - x0)，函式f(x) = 1/x的導數是 -1/x^2，求三角形面積，我們只要求出線段AO和BO的長度，即在A點的座標(0, y)和B點的座標(x, 0)，將A、B兩點的座標值和函式導數代入切線方程中得到：

求解的過程寫的有點亂，將A、B座標和導數代入後，求出A和B代表的三角形的兩個邊的y、x值。最後根據三角形面積公式：1/2AOBO，求出面積為：2, 函式f(x) = 1 / x，比較神奇，過函式的點的切線與座標軸交點所圍成的三角形面積都是2。

例子三

既然函式f(x) = 1/x（即x的-1次冪）可以求其導數，f(x) = x^n，也可以求其導數，如下是求導過程：

這裡最難的是二項式(x + Δx)^n的展開為多項式，（二項式定理）這個高中的數學書應該有提及，其實只要試試(x + Δx)^2和(x + Δx)^3的展開，就可以找出其中規律，上圖寫的O((Δx)^2)是許多由Δx所組成的項式，因為我們求導最終是一個極限的過程，所以只有變化量的項式就寫成了一個統稱，沒有實際的計算意義。最終得出當Δx趨於0的時候，函式f(x) = x^n的導數是 f '(x) = nx^n-1，通過這個導數公式也可以反過來證明我們上門例子一中所計算出的函式f(x) = 1/x的導數，也是f '(x) = -1/x^2（即-x^-2）。經過例子三的計算，很容易對多項式函式進行求導，比如：f(x) = 10x^3 -2x^5，f '(x) = 30x^2 - 10x^4。

例子四

下面來推導下三角函式的導數： f(x) = sinx，f '(x) = (sinx)'，利用上門的求導公式，解得：

正弦的兩角和公式展開後，求得Δx趨於0的時候，cosΔx等於1，所以cosΔx-1 / Δx等於0，Δx趨於0的時候，sinΔx等於0， sinΔx/Δx等於1。

餘弦函式f(x) =cosx的求導，f '(x) = (cosx)'：

以上三角函式的兩角和公式： sin(x + Δx) = sinx·cosΔx + cosx·sinΔx cos(x + Δx) = cosx·cosΔx - sinx·sinΔx

二、高階導數

所謂高階導數就是，函式的一次求導叫一階導數，對一階導數再次求導叫二階導數，對二階導數再次求導叫三階導數，對三階導數再次求導叫四階導數，如果求導n次就是n階導數，這些都是高階導數。這裡舉個例子，函式f(x) = x^n，的n次導數，求解？牛頓用f '(x)表示一階導數，萊布尼茨在微分中使用 d/dx(x^n)來表示一階導數也可以用D x^n 來表示，(d/dx)d/dx(x^n)表示二階導數也可以用D ^2 x^n表示，n次導數可以用 D^n x^n