第一章 整除與同餘
定義1.1 整除
假設\(a 、b\) 是任意兩個整數，其中 b 非零，若存在一個整數$q \(，使得\)a=qb\(，則稱為\)b\(能整除\)a\(，或稱\)a\(能被\)b\(整除，記為\)b∣a\(，且\)b\(是\)a \(的因子，\)a\(是\)b$的倍數。
定理1-1
設\(a、b、c\)是整數
(1)如果\(b|a\)且\(a|b\)，則\(b=a\)或\(b=-a\)
(2)如果\(a|b\)且\(b|c\)，則$a|c $ (傳遞性)
(3)如果\(c|a\)且\(c|b\)，則\(c|ua+vb\)，其中\(u、v\)為整數
定義1.2 最大公因子
設\(c > 0\)是兩個不全為0的整數\(a，b\)的公因子，如果\(a、b\)的任何公因子都整除\(c\)，則\(c\)稱為\(a、b\)的最大公因子，記\(c=(a,b)=gcd(a,b)\)
①公因數②最小
定理1-2 性質
(1)\((a,b)=(a,-b)=(-a,b)=(-a,-b)\)
(2)\((0,a)=|a|\)
歐幾里得除法/輾轉相除法求最大公因數
例題：求\((888,312)\)
| 迴圈 | x | y | r |
|---|---|---|---|
| 初始值 | 888 | 312 | |
| 1 | 312 | 264 | 264 |
| 2 | 264 | 48 | 48 |
| 3 | 48 | 24 | 24 |
| 4 | 24 | 0 | 0 |
所以\((888,312)=24\)
定理1-3 最大公因數
設\(a、b\)是兩個不全為零的整數，則存在兩個整數\(u、v\)使得\((a,b)=ua+vb\)
定義1.3 最小公倍數
設\(m>0\)是兩個整數\(a、b\)的公倍數，如果\(m\)整除\(a、b\)的任何公倍數，則\(m\)稱為\(a、b\)的最小公倍數，記為\([a,b]\)或者\(lcm(a,b)\)
①公倍數②最小
定理1-3 性質
(1)設\(m\)是\(a、b\)的任意公倍數，則\([a,b]|m\)
(2)\([a,b]=\frac{a\times b}{(a,b)}\)
定義1.4 互素
設\(a、b\)是兩個不全為零的整數，如果\((a,b)=1\)，稱\(a、b\)互素
推論：
\(a、b\)互素的充分必要條件是：存在\(u、v\)，使\(ua+vb=1\)，即\((a,b)=1\)
定理1-4 性質
(1)如果\(c|ab\)且\((c,a)=1\)，則\(c|b\)
(2)如果\(a|c、b|c\)，且\((a,b)=1\)，則\(ab|c\)
(3)如果\((a,c)=1、(b,c)=1\)，則\((ab,c)=1\)
定義1.5 素數
如果一個大於1的整數\(p\)除了\(±1\)和\(±p\)外無其他因子，則稱\(p\)為一個素數，否則稱為合數
定理1-4 性質
設\(p\)是一個素數，則：
(1)對任意整數\(a\)，如果\(p\)不整除\(a\)，則\((p,a)=1\)
(2)如果\(p|ab，則p|a\)，或\(p|b\)
定理1-5 算術基本定理
任意大於1的整數a，都可以分解成為有限個素數的乘積
\(a=p_1\times p_2\times p_3\dots\times p_n\)
定義1-6 同餘
給定稱為模的正整數\(m\)，若\(m\)除整數\(a 、 b\) 得相同的餘數，即存在整數\(q_1和q_{2}\) 使得$a \equiv q_1 m + r ， b \equiv q_2 m + r $
則稱\(a\)和$b \(關於模\)m \(同餘，記為\)a ≡ b ( mod\ m ) $
定理1-5 性質
整數\(a\) 和\(b\)關於模$m \(同餘的充分必要條件為：\)m ∣ ( a − b ) \(，即\)a = b + m t \(，\)t \(是整數。 (1)如果\)ac\equiv bc(mod\ m)\(，且\)(c,m)=1\(，則\)(a\equiv b(mod \ m))$
(2)如果\(a\equiv b(mod\ m)\)，且\(d|m\),\(d\)是正整數，則\(a\equiv b(mod\ d)\)
推論：如果\(a\equiv b(mod\ m)\)，
則\(a^n\equiv b^n(mod\ m)\)，其中\(n\)為正整數
則\(f(a)\equiv f(b)(mod\ m)\)
例題 求\(2^{64}(mod\ 641)\)
解：
\(2^8 = 256\)
\(2^{16}=65536\equiv154(mod\ 641)\)
\(2^{32}=154^2=23716\equiv640(mod\ 641)\)
\(2^{64}=(-1)^2=1(mod\ 641)\)
例題 判斷587是否能被3整除
解：
因為\(10^n \equiv1(mod\ 3)\)，其中n是正整數，所以
\(588=5\times10^2+8\times10+8\equiv5+8+8(mod\ 3)=21(mod\ 3)=0(mod\ 3)\)
所以3|578