人工智慧數學基礎系列文章
今天覆習矩陣，作為程式設計師，矩陣在程式中的應用想必或多或少都接觸過，特別是在影像變化演算法上的應用。
一、矩陣
1. 定義
矩陣（Matrix）是一個按照長方陣列排列的複數或實數集合，最早來自於方程組的係數及常數所構成的方陣。這一概念由19世紀英國數學家凱利首先提出。（此定義來自百度百科）
下面通過一個方程組來宣告一個矩陣（數學符號在PC上書寫真是很麻煩，不知道誰有好用的公式符號書寫軟體推薦下）：
以上是一個三元一次方程組，根據矩陣的來源定義，有矩陣A如下圖
2. 矩陣的運算
2.1. 矩陣的加法
從上圖中我們可以看出，矩陣A和矩陣B相加，它們都是2 x 2的矩陣，相加就是兩個矩陣對應的元素值的相加，比如：矩陣A的一行一列元素3和矩陣B的一行一列的元素-7相加，得到新的矩陣的一行一列元素-4，以此類推計算出一個新的矩陣。上圖中A+B計算的結果和B+A是一樣的，符合加法的交換律。
重新定義兩個矩陣A[2×2]和B[2×3]：
矩陣A是2行2列，矩陣B是2行3列，如果A+B，根據上面兩個矩陣相加的計演算法則，會發現矩陣B的第三列元素沒有辦法相加。所以結論是： 當兩個矩陣相加的時候，這兩個矩陣的維數（行列個數）必須是相同的，比如要麼都是 2×2，要麼都是3×3等等。
同樣的如果是A+B+C三個或者更多的矩陣的相加計算方式也是一樣的。
2.2. 矩陣的減法
上圖可以看出，矩陣A–B的計算就是對應的每個元素的相減，而且有個規律是：
矩陣A–B = -(B–A)，同矩陣加法一樣，做減法的兩個或者多個矩陣的維數（行列個數）必須是一樣的，否則無法進行減法運算。
2.3. 矩陣的乘法
有矩陣A和B，兩個矩陣相乘，A的a11（表示矩陣的第一行第一列元素）、a12 分別和B的第一列的兩個元素相乘後相加，作為新的矩陣的a11元素值。
上圖就很清楚的描述了，矩陣乘法的計算規則。
假設有兩個矩陣C和D，分別是C·D和D·C，很明顯計算出的結果不相同，所以通常情況下矩陣的乘法是不滿足：乘法交換律的，即：C·D≠D·C
如上圖，你會發現也不是任何兩個矩陣都能夠相乘，只有乘數矩陣A的列數和被乘矩陣B的行數相同的時候，兩個矩陣才能相乘。
3. 單位矩陣
在介紹單位矩陣之前，說介紹什麼是方陣，顧名思義，方陣就是方的，行數和列數一樣的矩陣，比如：
像上圖這樣，行列一樣的矩陣就是方陣，這很直觀也很好理解。
單位矩陣，是一直特殊的方陣，它的所有元素由0和1組成，並且對角線的元素為1,其餘元素為0，當然一階的單位矩陣只含有一個元素1：I₁ = [1]。
以上四個方陣都是單位矩陣，分別是I₂二階單位矩陣、I₃三階單位矩陣、四階和五階的單位矩陣。單位矩陣的階數可以無限擴大，比如n階的單位矩陣:
單位矩陣有一個特殊重要的性質，I·A = A，A·I = A，這裡的矩陣A是一個和單位矩陣同個維數的方陣，不是方陣無法和單位矩陣相乘，這個性質很容易證明，舉個例子就知道了：
反過來A·I 也等於A
4. 逆矩陣
如上圖，如果一個矩陣可逆，那麼就會有性質：A^-1·A=I，I是一個單位矩陣。逆矩陣的求法，如上圖所示，逆矩陣 = 矩陣行列式的倒數值 * 矩陣A的伴隨矩陣。當矩陣A的行列式如果等於0，即ad – bc = 0，或者 a/c = b/d，那麼這個矩陣不存在逆矩陣（行列式的倒數1/|A|沒有定義），我們也稱這樣的矩陣叫 “奇異矩陣”。
（未完待續。。。。）
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