矩陣的行列式

在任意方陣中都存在一個標量，稱作該方陣的行列式。
方陣M的行列式記作|M|或“det M”。非方陣矩陣的行列式是未定義的。
2X2階矩陣行列式的定義：
$\left|\begin{array}{c}M\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cc}{m}_{11}& m_{12}\\ m_{21}& m_{22}\end{array}\right|=m_{11}{m}_{22}-m_{12}{m}_{21}$
將主對角線和反對角線的元素各自相乘，然後用主對角線元素的積減去反對角線元素的積。

3X3階矩陣的行列式定義：
$\left|\begin{array}{ccc}{m}_{11}& m_{12}& m_{13}\\ m_{21}& m_{22}& m_{23}\\ m_{31}& m_{32}& m_{33}\end{array}\right|=\begin{array}{c}{m}_{11}{m}_{22}{m}_{33}+m_{12}{m}_{23}{m}_{31}+m_{13}{m}_{21}{m}_{32}\\ -m_{13}{m}_{22}{m}_{31}-m_{12}{m}_{21}{m}_{33}-m_{11}{m}_{23}{m}_{32}\end{array}$

餘子式和代數餘子式

假設矩陣M有r行，c列。記法 M { i j } M^{\{ij\}} M{ij}表示從矩陣M中除去第i行和第j列後剩下的矩陣。矩陣 M { i j } M^{\{ij\}} M{ij}稱作M的餘子式。

對方陣M，給定行、列元素的代數餘子式等於相應餘子式的有符號行列式：
c i j = ( − 1 ) i j ∣ M { i j } ∣ c_{ij} = (-1)^{ij}\begin{vmatrix}M^{\{ij\}}\end{vmatrix} cij​=(−1)ij∣∣​M{ij}​∣∣​

那麼可以用上式推匯出矩陣的行列式：
∣ M ∣ = ∑ j = 1 n m i j c i j = ∑ j = 1 n ( − 1 ) i j ∣ M { i j } ∣ \begin{vmatrix}M\end{vmatrix} = \displaystyle\sum_{j=1}^{n}m_{ij}c_{ij} = \sum_{j=1}^n(-1)^{ij}\begin{vmatrix}M^{\{ij\}}\end{vmatrix} ∣∣​M​∣∣​=j=1∑n​mij​cij​=j=1∑n​(−1)ij∣∣​M{ij}​∣∣​

高階行列式的計算複雜性是呈指數遞增的。幸運的是，有一種叫做“主元選擇”的計算方法，有興趣的可以瞭解一下。

行列式的一些重要性質

• 矩陣積的行列式等於矩陣行列式的積：$|AB|=|A||B|$
• 上一個性質可以擴充套件到多個矩陣的情況
• 矩陣轉置的行列式等於原矩陣的行列式：$|M^T|=|M|$
• 如果矩陣的任意行或列全為0，那麼它的行列式為0
• 交換矩陣的任意兩行或兩列，行列式變負
• 任意行或列的非零積加到另一行或列上不會改變行列式的值

幾何解釋

2D中，行列式等於以基向量為兩邊的平行四邊形的有符號面積。
3D中，行列式等於以變換後的基向量為三邊的平行六面體的有符號體積。