今天學到一個非常魔怔的東西啊，求任意矩陣的伴隨矩陣（在模數為質數的情況下）
首先你也許知道求非奇異矩陣的伴隨矩陣的方法，設這個矩陣是 \(A\) ，稱它的伴隨矩陣是 \(A^*\) ，則我們有 \(A^*=|A|A^{-1}\)
但是問題是當 \(|A|=0\) 時，\(A^{-1}\) 就不存在了，咋辦？
我們現在做的矩陣求逆，相當於是找到一個矩陣 \(P\) 使得 \(AP=I\) ，但是由於不一定存在這樣的矩陣 \(P\) ，所以我們擴充套件一下，找到兩個非奇異矩陣 \(P,Q\) 滿足 \(PAQ=I_r\) ，其中 \(r\) 是矩陣的秩， \(I_{r_{i,j}}=[i = j \le r]\)
那麼由於 \((AB)^*=B^*A^*\) ，得出 \((PAQ)^*=Q^*A^*P^*=|P||Q|Q^{-1}A^*P^{-1}\) ，於是我們有 \(A^*=\frac{Q I_r^* P}{|P||Q|}\)
於是需要求 \(P,Q\) ，還是類似求矩陣逆，先初始化 \(P=Q=I\) ，然後嘗試把 \(A\) 消成 \(I_r\)，每次對 \(A\) 做行變換的時候就對 \(P\) 做相同操作，做列變換（由於是任意矩陣，秩不一定為 \(0\) ，於是可能需要做一些列變換）就對 \(Q\) 做相同操作，於是就得到了 \(P,Q\) （至於為什麼要用兩個矩陣，大概是因為行變換容易用左乘表達，而列變換相反）。而且由於初等行/列變換要麼不改變行列式，要麼把行列式變為相反數（交換兩行或兩列），所以 \(|P|\ne 0, |Q|\ne 0\) ，這說明了我們得到的 \(P,Q\) 確實是非奇異矩陣
然後還有最後一步，求 \(I_r^*\) ，這個其實很弱智啊，當 \(r\le n-2\) 的時候就是全 \(0\) 的矩陣，當 \(r=n-1\) 就只有 \(I_{r_{n,n}}^*=1\) ，如果 \(r=n\) 就對角線上全為 \(1\)
求出上面這些，最後的式子就很好算了，時間複雜度 \(O(n^3)\)
造了點資料，不保證強度