簡介
隨機矩陣理論（Random Matrix Theory，RMT）利用統計力學的原理來模擬多個數學領域中複雜系統的互動作用。
應用領域
- 電子雲密度，密度泛函
- 混沌理論
- 黎曼猜想
- 神經科學
- 最優控制
- 數論
- 諧振子：彈簧振子，小幅鐘擺，
隨機矩陣：元素來自於機率分佈取樣的對稱或共軛對稱矩陣
實隨機矩陣，對稱矩陣
復隨機矩陣，共軛對稱矩陣（厄米矩陣）
\(N(0,1)\)分佈的隨機矩陣，矩陣元素來自\(N(0,1)\)分佈
- 隨機矩陣是任意具有隨機元素的矩陣，其元素為非負實數，且行和或列和為1，顯然元素來自\(N(0,1)\)分佈
- 如果行和為1，則稱為行隨機矩陣
- 如果列和為1，則稱為列隨機矩陣
- 如果行和和列和都為1，則稱為雙隨機矩陣
對實矩陣進行旋轉操作，施加的正交矩陣（每行和每列的模長為1，其轉置=逆）
對復矩陣進行旋轉操作，施加的酉矩陣（每行和每列的模長為1，其共軛轉置=逆，正交矩陣都是酉矩陣）
指數分佈的隨機矩陣
高斯分佈的隨機矩陣
譜函式
矩陣\(M\)的譜：矩陣的特徵值\(\lambda _i\)的集合\(\{\lambda _i \}\)
矩陣\(M\)的行列式：\(det(M)=\Pi \lambda _i\)
矩陣\(M\)的跡：\(Tr(M)=\sum \lambda _i\)
矩陣冪\(M^n\)的跡：\(Tr(M^n)=\sum \lambda _i^n\)
矩陣\(M\)的譜函式：\(f(\{\lambda _i \})\)
配分函式 Partition function：在具有實標量場和作用的一維場論中，配分函式在路徑積分形式中被定義為泛函；機率分佈的歸一化因子。
\(Z \equiv \int dM P(M)=\int dM·e^{-\frac {N}{2}{Tr(MM^*)}}\)，其中\(dM=dM_{11}dM_{12}……dM_{NN}\)
矩陣的機率分佈\(P(M)\)滿足：
- 機率分佈的乘積
- 權重和度量滿足酉不變性
\(P(M)\propto \Pi_{i\le j}^{N} p_{ij}(M_{ij})\)
\(P(M)=P(UMU^*)\)
機率分佈函式\(P(M)\)取高斯分佈，波特和羅森斯坦證明高斯模型是唯一滿足上述兩個要求的集合
\(\begin{multline} Z \equiv \int dx dyP(x,y)=\int dxdy·e^{-\frac {x^2+y^2}{2}} \end{multline}\)
\(P(x,y)=e^{-\frac {x^2}{2}}e^{-\frac {y^2}{2}}=P(x)P(y)\)
\(\begin{multline} Z \equiv \int dM P(M)=\int dM·e^{-\frac {1}{2} \sum _i {M_{ii}^2} +\sum _{i<j}(M_{ij}^R)^2 + \sum _{i<j}(M_{ij}^I)^2 } \end{multline}\)
兩類機率分佈
目標：找出不相關事件或特徵值之間的間距分佈
實際：研究間距的累積分佈函式
定義\(q(s)=P(t>s)\)表示間距\(t\)大於\(s\)的機率，可以看作是給定特徵值的任意兩個之間距離為\(s\)的情況下，沒有特徵值的機率
\(q(s+ds)=q(ds|s)\)：區間\(s\)加上\(ds\)內沒有特徵值的機率=在沒有特徵值的情況下，在區間\(ds\)內沒有特徵值的機率
事件不相關
由於事件不相關，\(q(s+ds)=q(s)q(ds)\approx q(s)(1-c·ds)\)，\(c\)為單位區間記憶體在特徵值的機率\(q(s)=P(t>s)=1-\int _{0} ^s P(t)dt\)
移向，\(\frac {q(s+ds)-q(s)}{ds}\equiv \frac {dq(s)}{ds}=-cq(s)\)，已知\(q(0)=P(t>0)=1\)
微分方程通解：\(q(s)=e^{-cs}\)，於是，\(P(s)=-\frac {dq(s)}{ds}=ce^{-cs}\)
對於不相關的事件或特徵值，間距的分佈是指數分佈，即泊松分佈，意味著特徵值之間更加傾向於靠近
事件相關
由於事件不相關，\(q(s+ds)=q(s)q_s(ds)\approx q(s)(1-c·s·ds)\)，\(c\)為單位區間記憶體在特徵值的機率\(q(s)=P(t>s)=\int _{0} ^s P(t)dt\)
移向，\(\frac {q(s+ds)-q(s)}{ds}\equiv \frac {dq(s)}{ds}=-c·s·q(s)\)，已知\(q(0)=P(t>0)=0\)
微分方程通解：\(q(s)=-ce^{-cs^2/2}\)，於是，\(P(s)=-\frac {dq(s)}{ds}\propto se^{-cs^2/2}\)
即高斯分佈，意味著特徵值之間更加傾向於遠離（互相排斥），高斯隨機矩陣是唯一一個具有獨立同分布的元素且具有單位性和旋轉不變性的隨機矩陣
2*2 RMT
\(M=\begin{pmatrix} m_{11} & m_{12} \\ m_{21} & m_{22}\end{pmatrix}\)
\(m_{ij}\)為簡單諧振子勢能或高斯分佈中取樣得到，\(2*2\)矩陣只有兩個特徵值，故只有一個間距\(s\)
令\(M\)為對稱矩陣，\(m_{12}=m_{21}\)
\(\lambda _{\pm }=\frac{m_{11}+m_{22} {\pm } \sqrt{(m_{11}-m_{22})^2+4m_{12}^2}}{2}\)
\(s\equiv \lambda _+ -\lambda _ -=\sqrt{(m_{11}-m_{22})^2+4m_{12}^2}\)
定義某點\(S\)為有序對\((m_{11}-m_{22}，2m_{12})\)，\(s\)即為該點\(S\)到原點的距離
\(P(s)\propto\int dm_{11}dm_{22}dm_{12}\delta (s-\sqrt{(dm_{11}-m_{22})^2+4dm_{12}}P(dm_{11})P(dm_{22})P(dm_{12})\)
\(P(m_{11})=e^{-\frac{m_{11}^2}{2}}\)，\(P(m_{22})=e^{-\frac{m_{22}^2}{2}}\)，\(P(m_{12})=e^{-\frac{2m_{12}^2}{2}}\)；對角元素方差是非對角元素方差的2倍
\(P(m_{11})P(m_{22})P(m_{12})=e^{-\frac{1}{2} (m_{11}^2+m_{22}^2+2m_{12}^2)}\)
\(\begin{multline} P(s)\propto \int dm_{11}dm_{22}dm_{12}\delta (s-\sqrt{(dm_{11}-m_{22})^2+4dm_{12}})P(dm_{11})P(dm_{22}P(dm_{12})\newline =\int dm_{11}dm_{22}dm_{12}\delta (s-\sqrt{(dm_{11}-m_{22})^2+4dm_{12}}·e^{-\frac{1}{2} (m_{11}^2+m_{22}^2+2m_{12}^2)}\end{multline}\)
做個線性變換\(u=\frac {m_{11}-m_{22}}{2}\)，\(v=\frac {m_{11}+m_{22}}{2}\)，\(w=2{m_{12}}\)
\(\begin{multline} P(s)\propto \int du dv dw \delta (s-2\sqrt{u^2+w^2)}·e^{-(u^2+v^2+w^2)} \end{multline}\)
提取\(v\)的相關量做為常量，並做極座標變換，\(u=rsin\theta,w=rcos\theta\)，面積微元\(dA=dudw=rdrd\theta\)
\(\begin{multline} P(s)\propto \int _0^\infty rdr \int _0 ^{2\pi} d \theta \delta (s-2r)·e^{-r^2}\propto s e^{-s^2}\end{multline}\)