矩陣求導公式【轉】

基本公式：今天推導公式，發現居然有對矩陣的求導，狂汗--完全不會。不過還好網上有人總結了。吼吼，趕緊搬過來收藏備份。

Y = A * X --> DY/DX = A'
Y = X * A --> DY/DX = A
Y = A' * X * B --> DY/DX = A * B'
Y = A' * X' * B --> DY/DX = B * A'

1. 矩陣Y對標量x求導：

相當於每個元素求導數後轉置一下，注意M×N矩陣求導後變成N×M了

Y = [y(ij)] --> dY/dx = [dy(ji)/dx]

2. 標量y對列向量X求導：

注意與上面不同，這次括號內是求偏導，不轉置，對N×1向量求導後還是N×1向量

y = f(x1,x2,..,xn) --> dy/dX = (Dy/Dx1,Dy/Dx2,..,Dy/Dxn)'

3. 行向量Y'對列向量X求導：

注意1×M向量對N×1向量求導後是N×M矩陣。

將Y的每一列對X求偏導，將各列構成一個矩陣。

重要結論：

dX'/dX = I

d(AX)'/dX = A'

4. 列向量Y對行向量X’求導：

轉化為行向量Y’對列向量X的導數，然後轉置。

注意M×1向量對1×N向量求導結果為M×N矩陣。

dY/dX' = (dY'/dX)'

5. 向量積對列向量X求導運演算法則：

注意與標量求導有點不同。

d(UV')/dX = (dU/dX)V' + U(dV'/dX)

d(U'V)/dX = (dU'/dX)V + (dV'/dX)U'

重要結論：

d(X'A)/dX = (dX'/dX)A + (dA/dX)X' = IA + 0X' = A

d(AX)/dX' = (d(X'A')/dX)' = (A')' = A

d(X'AX)/dX = (dX'/dX)AX + (d(AX)'/dX)X = AX + A'X

6. 矩陣Y對列向量X求導：

將Y對X的每一個分量求偏導，構成一個超向量。

注意該向量的每一個元素都是一個矩陣。

7. 矩陣積對列向量求導法則：

d(uV)/dX = (du/dX)V + u(dV/dX)

d(UV)/dX = (dU/dX)V + U(dV/dX)

重要結論：

d(X'A)/dX = (dX'/dX)A + X'(dA/dX) = IA + X'0 = A

8. 標量y對矩陣X的導數：

類似標量y對列向量X的導數，

把y對每個X的元素求偏導，不用轉置。

dy/dX = [ Dy/Dx(ij) ]

重要結論：

y = U'XV = ΣΣu(i)x(ij)v(j) 於是 dy/dX = [u(i)v(j)] = UV'

y = U'X'XU 則 dy/dX = 2XUU'

y = (XU-V)'(XU-V) 則 dy/dX = d(U'X'XU - 2V'XU + V'V)/dX = 2XUU' - 2VU' + 0 = 2(XU-V)U'

9. 矩陣Y對矩陣X的導數：

將Y的每個元素對X求導，然後排在一起形成超級矩陣。

 

10.乘積的導數

d(f*g)/dx=(df'/dx)g+(dg/dx)f'

結論

d(x'Ax)=(d(x'')/dx)Ax+(d(Ax)/dx)(x'')=Ax+A'x   （注意：''是表示兩次轉置）

 

 

比較詳細點的如下：

 

 

 

http://lzh21cen.blog.163.com/blog/static/145880136201051113615571/

http://hi.baidu.com/wangwen926/blog/item/eb189bf6b0fb702b720eec94.html