第三章，矩陣，03-矩陣與行列式

玩轉線性代數(15)矩陣與行列式的筆記

矩陣與行列式的轉置

將一個$m\times n$矩陣A的行列互換得到的$n\times m$矩陣，稱為A的轉置矩陣，記作$A^T$
行列式轉置值不變，矩陣轉置為一個新矩陣
矩陣轉置規則：

1. $(A^T{)}^T=A$
2. $(A+B{)}^T=A^T+B^T$
3. $(kA{)}^T=k{A}^T$，(k為實數)
4. $(AB{)}^T=B^T{A}^T$

證明$(AB{)}^T=B^T{A}^T$

設$A=(a_{ij}{)}_{m\times s},B=(b_{ij}{)}_{s\times n}$,
記$(AB{)}^T=(c_{ij}{)}_{n\times m},B^T{A}^T=(d_{ij}{)}_{n\times m}$，
則有$c_{ij}$為$(AB{)}^T$的第i行第j列，也為AB的第j行第i列，即A的第j行與B的第i行的乘積，即
$c_{ij}={\sum }_{k=1}^s{a}_{jk}{b}_{ki}$，
同理，$d_{ij}$為$B^T$的第i行與$A^T$的第j列的乘積，也即B的第i列與A的第j行的乘積，有
$d_{ij}={\sum }_{k=1}^s{a}_{jk}{b}_{ki}=c_{ij}$
故：
$(AB{)}^T=B^T{A}^T$

證明$(ABC{)}^T=C^T{B}^T{A}^T$

$(ABC{)}^T=[(AB)C{]}^T=C^T(AB{)}^T=C^T{B}^T{A}^T$

推廣:$(A_1{A}_2...A_k{)}^T=A_k^T...A_1^T$

方陣、對稱矩陣

行列數相等：方陣
轉置矩陣與原矩陣相等：對稱陣

矩陣的k階子式

定義

在$m\times n$階矩陣A中任意選定矩陣的k行和k列，將位於這些行列的交點上的$k^2$個元素按原來的次序組成的一個新的行列式，稱為矩陣的一個k階子式。

方陣的行列式（方陣的最高階子式）

n階方陣A的元素構成的行列式，叫做方陣A的行列式，記作$|A|$或$detA$，它的最高階子式就是n階

• 性質：
  $|kA|=k^n|A|$
  $A=|A^T|$
• 拉普拉斯公式
  $\left|\begin{array}{cc}A& O\\ C& B\end{array}\right|=|A||B|$
• $|AB|=|A||B|$
  證明：
  僅就n=2的情況寫出證明，$n\ge 3$的情況類似可證。
  設$A=(a_{ij}),B=(b_{ij})$，記四階行列式
  $D=\left|\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& 0& 0\\ a_{21}& a_{22}& 0& 0\\ -1& 0& b_{11}& b_{12}\\ 0& -1& b_{21}& b_{22}\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cc}A& 0\\ -E& B\end{array}\right|$
  由拉普拉斯公式，$D=|A||B|$
  D中第1列乘以$b_{11}$,第2列乘以$b_{21}$都加到第3列上；再將第1列乘以$b_{12}$，第2列乘以$b_{22}$都加到第4列上，即
  $D=\left|\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{11}{b}_{11}+a_{12}{b}_{21}& a_{11}{b}_{12}+a_{12}{b}_{22}\\ a_{21}& a_{22}& a_{21}{b}_{11}+a_{22}{b}_{21}& a_{21}{b}_{12}+a_{22}{b}_{22}\\ -1& 0& b_{11}& b_{12}\\ 0& -1& b_{21}& b_{22}\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cc}A& AB\\ -E& B\end{array}\right|$
  對上式作二次行變換，第1、3行，2、4行互換，得
  $D=(-1{)}^2\left|\begin{array}{cc}-E& 0\\ A& AB\end{array}\right|=(-1{)}^2|-E||AB|=|AB|$
  於是：
  $|AB|=|A||B|$