讓我們透過一個簡單的二維有限元程式來說明雅克比矩陣的作用。假設我們有一個四邊形單元，需要計算其剛度矩陣。在這個例子中，我們將使用雙線性形函式和高斯積分來近似求解。
步驟 1: 定義四邊形單元的節點座標
假設四邊形單元的四個節點座標如下：
節點 x座標 y座標
1 0 0
2 1 0
3 1 1
4 0 1
步驟 2: 定義形函式
對於雙線性四邊形單元，形函式 N_i 可以定義為：
N_1 = (1 - \xi)(1 - \eta) N_2 = \xi(1 - \eta) N_3 = \xi\eta N_4 = (1 - \xi)\eta
其中，\xi 和 \eta 是參考座標系中的座標。
步驟 3: 計算雅克比矩陣
雅克比矩陣 J 由形函式的偏導陣列成，用於將參考座標系中的座標轉換為物理座標系中的座標。雅克比矩陣的元素為：
J = \begin{bmatrix} \frac{\partial x}{\partial \xi} & \frac{\partial x}{\partial \eta} \ \frac{\partial y}{\partial \xi} & \frac{\partial y}{\partial \eta} \end{bmatrix}
其中，x 和 y 是物理座標，可以透過形函式和節點座標計算得到：
x = N_1 x_1 + N_2 x_2 + N_3 x_3 + N_4 x_4 y = N_1 y_1 + N_2 y_2 + N_3 y_3 + N_4 y_4
對 \xi 和 \eta 求偏導，我們得到雅克比矩陣的元素：
\frac{\partial x}{\partial \xi} = x_2 - x_1 + x_3 - x_4 \frac{\partial x}{\partial \eta} = x_4 - x_1 + x_3 - x_2 \frac{\partial y}{\partial \xi} = y_2 - y_1 + y_3 - y_4 \frac{\partial y}{\partial \eta} = y_4 - y_1 + y_3 - y_2
步驟 4: 計算雅克比行列式
雅克比行列式 |J| 為：
|J| = \left| \begin{matrix} \frac{\partial x}{\partial \xi} & \frac{\partial x}{\partial \eta} \ \frac{\partial y}{\partial \xi} & \frac{\partial y}{\partial \eta} \end{matrix} \right|
步驟 5: 應用高斯積分計算剛度矩陣
在參考座標系中，剛度矩陣 k 可以透過以下積分計算：
k = \int_{-1}^{1} \int_{-1}^{1} B^T D B |J| d\xi d\eta
其中，B 是形函式導數構成的矩陣，D 是材料屬性矩陣。透過在參考座標系中選擇高斯積分點，並計算這些點上的 B，D，|J|，然後進行積分，我們可以得到物理座標系中的剛度矩陣。
步驟 6: 組裝全域性剛度矩陣和求解
最後，將所有單元的區域性剛度矩陣組裝成全域性剛度矩陣，並施加邊界條件，求解得到節點位移。
透過這個例子，我們可以看到雅克比矩陣在有限元分析中的作用：它不僅用於座標變換，還涉及到剛度矩陣的計算和數值積分的準確性。雅克比矩陣的正確計算對於有限元程式的準確性和穩定性至關重要。