雅可比行列式
雅可比行列式在多元積分的變數替換中扮演著關鍵角色，它能幫助我們準確地轉換積分割槽域和被積函式，從而簡化積分計算。
核心原理:
多元積分的變數替換類似於一元積分的換元積分法，但需要考慮多個變數的相互關係。雅可比行列式反映了新舊座標系之間的比例關係，它能夠保證積分結果的正確性。
步驟:
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定義變換: 設原座標系為 \((x, y, ...)\)，新座標系為$ (u, v, ...)$，並定義變換關係：
x = x(u, v, ...) y = y(u, v, ...) ... -
計算雅可比行列式: 計算新舊座標系之間的偏導數矩陣，並求其行列式：
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轉換積分割槽域: 將原積分割槽域在舊座標系中的定義轉換為新座標系中的定義。
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轉換被積函式: 將原被積函式用新座標系表示。
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應用雅可比行列式: 在轉換後的積分表示式中，乘以雅可比行列式的絕對值，以修正積分割槽域的變化：
\[∫∫...∫ f(x, y, z, ...) dx dy ... = ∫∫...∫ f(x(u, v, ...), y(u, v, ...),z(u, v, ...), ...) |J(u, v, ...)| du dv ... \]
舉例說明:
例如，將二重積分 \(∫∫_R x^2 y dx dy\) 從直角座標系轉換為極座標系，其中 R 是單位圓。
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變換關係: \(x = r cosθ， y = r sinθ\)
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雅可比行列式: \(J(r, θ) = | ∂x/∂r\quad ∂x/∂θ | = | cosθ -r sinθ | = r\)
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積分割槽域: 原積分割槽域 R 在極座標系中對應 r 從 0 到 1， θ 從 0 到 2π。
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被積函式: \(x^2 y = (r cosθ)^2 * (r sinθ) = r^3 cos^2θ sinθ\)
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應用雅可比行列式:
\[∫∫_R x^2 y dx dy = ∫_{θ=0}^{2π} ∫_{r=0}^1 r^3 cos^2θ sinθ * r dr dθ \]該積分現在可以使用極座標系進行計算，由於變換後積分割槽域和被積函式都變得更加簡單，積分過程會變得更容易。
總結:
雅可比行列式是進行多元積分變數替換的關鍵，它反映了新舊座標系之間的比例關係，保證了積分結果的正確性。透過使用雅可比行列式，我們可以將複雜的多元積分轉化為更簡單的積分形式，從而簡化計算。
其中，詳細的步驟如下：
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原積分：
\[\iint_R x^2 y \, dx \, dy \] -
變數替換後的積分：
\[\int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{1} r^3 \cos^2 \theta \sin \theta \, r \, dr \, d\theta \]
解析步驟：
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變換關係： \(x = r \cos \theta\)，\(y = r \sin \theta\)
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雅可比行列式：
\[J(r, \theta) = \begin{vmatrix} \frac{\partial x}{\partial r} & \frac{\partial x}{\partial \theta} \\ \frac{\partial y}{\partial r} & \frac{\partial y}{\partial \theta} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} \cos \theta & -r \sin \theta \\ \sin \theta & r \cos \theta \end{vmatrix} = r \] -
積分割槽域： 原積分割槽域 \(R\) 在極座標系中對應 \(r\) 從 \(0\) 到 \(1\)，\(\theta\) 從 \(0\) 到 \(2\pi\)。
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被積函式：
\[x^2 y = (r \cos \theta)^2 (r \sin \theta) = r^3 \cos^2 \theta \sin \theta \] -
應用雅可比行列式：
\[\iint_R x^2 y \, dx \, dy = \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{1} r^3 \cos^2 \theta \sin \theta \, r \, dr \, d\theta \]