行列式求值，從 $n!$ 最佳化到 $n^3$

未抑郁的刘大狗發表於2024-05-28

前置知識

  • \(\sum\) 為累加符號，\(\prod\) 為累乘符號。
  • 上三角矩陣指只有對角線及其右上方有數值其餘都是 \(0\) 的矩陣。
  • 如果一個矩陣的對角線全部為 \(1\) 那麼這個矩陣為單位矩陣記作 \(I\)。
  • 對於矩陣 \(A_{n,m}\) 和矩陣 \(B_{m,n}\) 滿足 \(A_{i,j}=B_{j,i}\) 記作 \(A=B^T\)。
  • 如果 \(i,j\in[1,n]\) 滿足 \(i<j\) 且 \(p_i>p_j\)，那麼稱 \((p_i,p_j)\) 為一對逆序對。
  • 假設 \(p\) 是一個排列，那麼 \(\tau(p)\) 為 \(p\) 中逆序對的個數。

定義

行列式 \(A\) 為 \(n\) 階方陣，那麼 \(|A|\) 為該矩陣的行列式，記作 \(\operatorname{det}(A)\)。

\[\begin{vmatrix} a_{1,1} & a_{1,2} &\cdots & a_{1,n} \\ a_{2,1} & a_{2,2} &\cdots & a_{2,n} \\ \cdots & \cdots &\cdots & \cdots \\ a_{n,1} & a_{n,2} &\cdots & a_{n,n} \\ \end{vmatrix}=\sum_{j_1,j_2,\cdots ,j_n}(-1)^{N(j_1,j_2,\cdots ,j_n)}\prod_{i=1}^n a_{i,j_i}\]

幾何意義

對於一個 \(n\) 維的向量空間中的 \(n\) 個向量，我們可以構造一個 \(n\) 階行列式。這個行列式的絕對值等於由這 \(n\) 個向量所構成的平行體的體積。

具體來說，如果我們有 \(n\) 個向量 \(\vec{v_1}, \vec{v_2}, ..., \vec{v_n}\)，我們可以將這些向量的座標構造成一個n階行列式：

\[\begin{bmatrix} v_{1,1} & v_{1,2} & \cdots & v_{1,n} \\ v_{2,1} & v_{2,2} & \cdots & v_{2,n} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ v_{n,1} & v_{n,2} & \cdots & v_{n,n} \\ \end{bmatrix} \]

其中，\(v_{ij}\) 是向量 \(\vec{v_i}\) 的第 \(j\) 個座標。這個行列式的絕對值就是由向量 \(\vec{v_1}, \vec{v_2}, ..., \vec{v_n}\) 所形成的平行體的體積。

求解

暴力

首先有一個粗暴的做法單純是根據定義求解的，雖然無法應用到那時有助於理解定義。

要求解行列式首先需要隨機選擇一行，為了方便說明不妨取第一行。那麼在這一行的第 \(i\) 個元素的貢獻為 \((-1)^{1+i}\times 1\times\) 不看這一行和這一列剩餘的矩陣。

\[\begin{vmatrix} 1 & 2 & 3\\ 4 & 5 & 6\\ 7 &8 &9\end{vmatrix}\\=(-1)^{1+1}\times 1\times \begin{vmatrix}5& 6\\8&9\end{vmatrix}+(-1)^{1+2}\times 2\times \begin{vmatrix}4&6\\7&9\end{vmatrix}+(-1)^{1+3}\times 3\times \begin{vmatrix}4&5\\7&8\end{vmatrix} \]

透過這個操作，我們就將這個行列式降階了，接下來我們只需要一直進行遞迴操作直到行列式的階成為 \(1\) 就好了。所以根據定義我們就可以在 \(O(n!)\) 的時間複雜度內求解出 \(n\) 階行列式的值了。

最佳化

假設矩陣 \(A\) 是一個上三角矩陣，那麼 \(\operatorname{det}(A)=\prod_{i=1}^{n}a_{i,i}\) 的值，求解的時間複雜度十分優秀為 \(O(n)\)，考慮是否可以使用高斯消元進行最佳化。

排列的性質

  • 定義如果 \(\tau(p)\) 為奇數那麼 \(p\) 為奇排列，反之即為偶排列。
  • 對於一個 \(n(n\geq2)\) 階排列的所有排列情況，奇排列與偶排列的情況各有 \(\dfrac{1}{2}\cdot n!\) 種。
  • 將 \(p\) 中兩個不同的元素進行交換得到一個新的排列的過程叫對換操作，進行一次對換操作會改變序列的奇偶性。

矩陣性質

  • \(\operatorname{det}(A)=\operatorname{det}(A^T)\)，所以說所有的對列成立的性質均對行成立，反之亦然。
    帶入排列的性質自行觀察即可以得到。
  • 交換某 \(2\) 行或列，此時的 \(\operatorname{det}(A)\) 需要乘以 \(-1\)。
    證明同上。
  • 根據上一行進行推論，如果有兩行相同那麼 \(\operatorname{det}(A)=0\)。
    假設 \(s=\operatorname{det}(A)\)，不妨設行 \(x\) 與行 \(y\) 相等，那麼假設交換 \(x,y\) 則有 \(\operatorname{det}(A)=-s\) 但是矩陣並未變化，所以 \(\operatorname{det}(A)=-\operatorname{det}(A)\) 就得到了 \(\operatorname{det}(A)=0\) 是唯一解了。
  • 將 \(A\) 的一行全部乘以 \(k\)，那麼 \(\operatorname{det}(A)\) 也需要乘以 \(k\)。
    考慮從使用定義求解行列式的值的角度進行解釋。因為在求值是選擇任意行計算的結果都是相同的，所以不妨假設我們剛好選擇了全部乘以 \(k\) 的那一行，使用乘法分配律將 \(k\) 提出即可證明。
  • 根據上一行進行推論，如果有一行全部為 \(0\) 那麼，那麼 \(\operatorname{det}(A)=0\)。
    假設 \(s=\operatorname{det}(A)\)，那麼不妨假設 \(x\) 行全部為 \(0\)。將行 \(x\) 全部乘以 \(k\) 得到 \(\operatorname{det}(A)=s\cdot k\)，可是矩陣並未變化所以 \(\operatorname{det}(A)=s\)，因為 \(k\) 為任意值所以得到 \(\operatorname{det}(A)=0\)。
  • 如果行列式對應矩陣 \(A\) 中有一行，是對應 \(2\) 個矩陣 \(B,C\) 中分別的 \(2\) 行所有元素之和，那麼有 \(\det(A)=\det(B)+\det(C)\)。

\[\begin{vmatrix} a_{1,1} &a_{1,2} &\cdots &a_{1,n}\\ a_{2,1} &a_{2,2} &\cdots &a_{2,n}\\ \vdots &\vdots &\ddots &\vdots\\ b_{i,1}+c_{i,1} &b_{i,2}+c_{i,2} &\cdots &b_{i,n}+c_{i,n}\\ \vdots &\vdots &\ddots &\vdots\\ a_{n,1}&a_{n,2}&\cdots&a_{n,n}\\ \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} a_{1,1} &a_{1,2} &\cdots &a_{1,n}\\ a_{2,1} &a_{2,2} &\cdots &a_{2,n}\\ \vdots &\vdots &\ddots &\vdots\\ b_{i,1} &b_{i,2} &\cdots &b_{i,n}\\ \vdots &\vdots &\ddots &\vdots\\ a_{n,1}&a_{n,2}&\cdots&a_{n,n}\\ \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} a_{1,1} &a_{1,2} &\cdots &a_{1,n}\\ a_{2,1} &a_{2,2} &\cdots &a_{2,n}\\ \vdots &\vdots &\ddots &\vdots\\ c_{i,1} &c_{i,2} &\cdots &c_{i,n}\\ \vdots &\vdots &\ddots &\vdots\\ a_{n,1}&a_{n,2}&\cdots&a_{n,n}\\ \end{vmatrix} \]

  • 將某一行的的 \(k\) 倍加到另外一行，不影響 \(\operatorname{det}(A)\) 的值。
    結合前面的一些性質即可證明，十分顯然。

高斯消元

考慮到將某一行的的 \(k\) 倍加到另外一行不影響 \(\operatorname{det}(A)\) 的值，可以直接使用高斯消元就可以求解了。同樣還是高斯消元，用一個變數記錄交換兩行引起的符號改變。因為將一行的 \(𝑘\) 倍加到另一行上不影響答案，可以採用輾轉相除的方式，將其他行的對應位置消成 \(0\)。

因為輾轉相除法帶一個 \(\log\)，所以總的時間複雜度為 \(O(n^2\log W+n^3)\) 也就是 \(O(n^3)\)，其中 \(W\) 為矩陣的值域。

AC Code


#define debug
// #define tests
#include<bits/stdc++.h>
#define int long long 
#define x first
#define y second
using namespace std;
template<typename T=int> inline T read(){T x;cin>>x;return x;}
struct debug_{template<typename T>debug_&operator<<(T x){
#ifdef debug
cout<<x;
#endif
}}o;
const int N=605;
int n,a[N][N],mod;
void solve(){
	cin>>n>>mod;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		for(int j=1;j<=n;j++){
			cin>>a[i][j];
		}
	}
	int flag=1;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		for(int j=i+1;j<=n;j++){
			while(a[i][i]){
				int s=a[j][i]/a[i][i];
				for(int k=i;k<=n;k++){
					a[j][k]=(a[j][k]-s*a[i][k]+mod)%mod;
				}
				flag++;
				swap(a[i],a[j]);
			}
			flag++;
			swap(a[i],a[j]);
		}
	}
	int ans=1;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		ans=(ans*a[i][i])%mod;
	}
	cout<<(ans*(flag%2?1:-1)+mod)%mod;
}
signed main(){
    #ifdef debug
    #else
    ios::sync_with_stdio(false),cin.tie(nullptr);
    #endif
    int T=1;
    #ifdef tests
    cin>>T;
    #endif
    while(T--) solve();
    return 0;
}

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