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前言
Hello！小夥伴！
非常感謝您閱讀海轟的文章，倘若文中有錯誤的地方，歡迎您指出～
自我介紹 ଘ(੭ˊᵕˋ)੭
暱稱：海轟
標籤：程式猿｜C++選手｜學生
簡介：因C語言結識程式設計，隨後轉入計算機專業，有幸拿過一些國獎、省獎...已保研。目前正在學習C++/Linux/Python
學習經驗：紮實基礎 + 多做筆記 + 多敲程式碼 + 多思考 + 學好英語！
機器學習小白階段
文章僅作為自己的學習筆記 用於知識體系建立以及複習
知其然 知其所以然！
二階與三階行列式
二階行列式
記作
\(\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12}\\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix}=a_{11}*a_{22}-a_{12}*a_{21}\)
定義
主對角線上的兩元素之積減去副對角線上兩元素之積所得的差，即：\(a_{11}*a_{22}-a_{12}*a_{21}\)
注：行列式本質是一個數值，比如\(\begin{vmatrix} 1 & 2\\ 3 &4 \end{vmatrix}\)代表的就是數值(-2=1×4-2×3)
舉例
\(\begin{vmatrix} 3 & -2\\ 2 & 1 \end{vmatrix} = ？\)
答：
\(\begin{vmatrix} 3 & -2\\ 2 & 1 \end{vmatrix}=3*1-(-2)*2=3-(-4)=7\)
三階行列式
記作
\(\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33}\\ \end{vmatrix}=a_{11}*a_{22}*a_{33}+a_{12}*a_{23}*a_{31}+a_{13}*a_{21}*a_{32}-a_{11}*a_{23}*a_{32}-a_{12}*a_{21}*a_{33}-a_{13}*a_{22}*a_{31}\)
舉例
\(\begin{vmatrix} 1 & 2 & -4\\ -2 & 2 & 1\\ -3 & 4 & -2\\ \end{vmatrix} = ？\)
答：
\(\begin{vmatrix} 1 & 2 & -4\\ -2 & 2 & 1\\ -3 & 4 & -2 \end{vmatrix}=1*2*(-2)+2*1*(-3)+(-4)*(-2)*4-1*1*4-2*(-2)*(-2)-(-4)*2*(-3)=-14\)
全排列及其逆序數
全排列
定義
從n個不同元素中任取m（m≤n）個元素，按照一定的順序排列起來，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個排列。
當m=n時所有的排列情況叫全排列。
公式
全排列數f(n)=n!(定義0!=1)
舉例
用1、2、3三個數字，可以組成多少個沒有重複數字的三位數 ?
答：3×2×1=6種。
假設先放百位，有三種可能，再放十位，有兩種可能，最後放個位，只有一種可能了。
故為3×2×1=6種
從上面例子可以發現：
當有n個不同數字進行排列時
第一個位置有(n)選擇，第二個位置有(n-1)種選擇...第n個位置有1種選擇，一共有n(n-1)(n-2)...2*1種可能，也就是n!種排列方式。
我們用\(P_{n}\)表示n種不同元素的所有排列的種數，則
\(P_n=n*(n-1)*(n-2)*...*3*2*1=n!\)
逆序數
概念
- 標準次序：n個不同的數字，我們可以規定從小到大為標準次序
- 逆序：與標準排列次序相反（比如兩個元素排序是從大到小，與標準次序相反，則視為逆序）
- 排列的逆序數：一個排列中所有逆序的總數
計算排列的逆序數的方法
n個元素（依次為1,2,3...n-1,n），規定從小到大為標準次序
設\(p_1p_2...p_n\)為這n個元素的一個排列，對於元素\(p_i\)(i=1,2...,n)，如果比\(p_i\)大的且排在\(p_i\)前面的元素有\(t_i\)個，那麼就說\(p_i\)這個元素的逆序數是\(t_i\)。
全體元素的逆序數總和為t，那麼
\(t=t_2+t_2+...+t_n=\sum_{t=1}^nt_i\)
即是這個排列的逆序數。
舉例
求排列32514的逆序數
答：3在第一位，前面沒有數，逆序數為0
2在第二位，前面的數中，有一個數3比2大，所以逆序數為1
5的前面沒有比5的數，逆序數為0
1的前面比1大的數有：3、2、5，所以逆序數為3
4的前面比4大的只有5，所以逆序數為1
綜上，該排列的逆序數t=0+1+0+3+1=5
補充概念
- 齊排列：逆序數為奇數的排列
- 偶排列：逆序數為偶數的排列
結語
文章僅作為學習筆記，記錄從0到1的一個過程
希望對您有所幫助，如有錯誤歡迎小夥伴指正～
我是 海轟ଘ(੭ˊᵕˋ)੭
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