老師上課在講這個東西 奈何上課根本聽不進去，又不想掛科，（主要是本英文書，奈何自己英文水平太差，上課看不懂，只能下課自己看咯）看都看了，順帶寫寫部落格吧。

一、Linear Algebra（線性代數）

  我們一般學的向量都是“幾何向量”， $\vec{x}$, $\vec{y}$這樣的。而這本書中討論向量的一般概念，並用x,y來表示。
  而從抽象的數學觀點來看，只要是一個物件滿足跟一個標量相乘或者同型別相加得到的結果，還是這個型別的物件的話，就可以說這個物件是一個向量。
  舉個例子:兩個空間向量相加或者乘一個數，結果還是一個空間向量。類似的還有多項式，音訊訊號還有
            a=$\left[\begin{array}{c}1\\ 2\\ 3\end{array}\right]$∈$R^3$也是一種向量

1.1 Systems of Linear Equations（線性方程組）

例1.1：某家公司要生產$N_1$…$N_n$種產品，每種產品分別需要$R_1$…$R_m$種原料。用$a_{ij}$表示生產第j個產品所需要的第i個原料。而生產對應產品的數目分別用$x_1$…$x_n$表示。即所需要的$R_1$原料總數就是$a_{11}$$x_1$+…$a_{1n}$$x_n$=b1.整個方程組如下
$$\{\begin{array}{c}{a}_{11}{x}_1+...+a_{1n}{x}_n=b_1\\ ⋮\\ a_{m1}{x}_1+...+a_{mn}{x}_n=b_1\end{array}$$
這就是個線性方程組一般形式了。也就是找最優解的數學模型。對應的$x_1$…$x_n$就是一組解。
  而一個線性方程組的空間概念是什麼呢？
 當一個線性方程組有兩個變數$x_1$,$x_2$時，他們每一個方程就表示二位空間上的一條線，由於線性方程組的解必須滿足所有方程，所以呢，對應的就是兩線的交點啦。所以解就有三種情況，交於一點（有唯一解）、兩條直線重合（無數解）、兩條直線平行（無解）。
 有三個變數時每一個方程就表示一個平面咯，更多的話就表示更高的維度了。
而為了解決這些線性方程組的問題，我們就引入了一種符號，沒錯，就是矩陣
     $x_1$$\left[\begin{array}{c}{a}_{11}\\ ⋮\\ a_{m1}\end{array}\right]$+$x_2$$\left[\begin{array}{c}{a}_{12}\\ ⋮\\ a_{m2}\end{array}\right]$+…+$x_n$$\left[\begin{array}{c}{a}_{1n}\\ ⋮\\ a_{mn}\end{array}\right]$=$\left[\begin{array}{c}{b}_1\\ ⋮\\ b_m\end{array}\right]$ $⟺$ $\left[\begin{array}{ccc}{a}_{11}& ...& a_{1n}\\ ⋮& & ⋮\\ a_{m1}& ...& a_{mn}\end{array}\right]$$\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ ⋮\\ x_n\end{array}\right]$ =$\left[\begin{array}{c}{b}_1\\ ⋮\\ b_m\end{array}\right]$
接下來主要就是講矩陣了

1.2 Matrices（矩陣）

1.2.1 Matrix Addition and Multiplication(矩陣加法和矩陣乘法)

  基本運算就不多說了。加法就是對應元素相加。兩個矩陣行列數一樣時才能想加乘法就是AB中的$a_{ij}$就是A的i行乘以B的j列對應相乘再相加。注意：兩個矩陣只有在相鄰的維度一樣時才可以做乘法運算，就是AB，A的列數等於B的行數。最後得出的新矩陣行數=A的行數，列數=B的列數。還有就是矩陣乘法不滿足交換率的，即AB$\ne$BA。還有就是單位矩陣主對角線為1，其餘為零，這都知道。
  然後矩陣的性質也提一下吧：

• 結合律：A(BC)=(AB)C
• 分配率：(A+B)C=AC+BC
• 矩陣和單位矩陣相乘還等於自己

1.2.2 Inverse and Transpose(逆和轉置)

逆：現在有一個方陣A，如果存在一個方陣B，使得AB等於單位矩陣$I_n$，這時B就是A的逆矩陣，記做$A^{-1}$。不是每個矩陣都有逆，如果一個矩陣有逆，他可以被稱作正則矩陣/奇異矩陣/可逆矩陣
轉置：通俗點來說就是行列互換嘛，沒什麼可講的。
  下面寫一下逆和轉置的性質：

• $A{A}^{-1}=I=A^{-1}A$
• $(AB{)}^{-1}=B^{-1}{A}^{-1}$
• $(A+B{)}^{-1}$$\ne$ $A^{-1}+B^{-1}$
• $(A^T{)}^T=A$
• $(A+B{)}^T=A^T+B^T$
• $(AB{)}^T=B^T{A}^T$
  對稱矩陣：當$A=A^T$時，稱A為對稱矩陣。只有方陣才有可能是對稱矩陣
  如果一個矩陣可逆，那麼他的轉置矩陣也可逆。$(A^{-1}{)}^T=(A^T{)}^{-1}$。一般來說，對稱矩陣相加也是對稱矩陣，相乘則不一定。

1.2.3 Multiplication by a Scalar(矩陣乘以標量)

沒什麼好說的，列幾個性質吧

• $(\lambda \phi )C=\lambda (\phi C)$
• $\lambda (BC)=(\lambda B)C=B(\lambda C)=(BC)\lambda$
• $(\lambda C{)}^T=C^T{\lambda }^T=C^T\lambda$ 因為$\lambda ={\lambda }^T,\forall \lambda \in R$
• 分配率：$\lambda (B+C)=\lambda B+\lambda C$

1.2.4 Compact Representations of Systems of Linear Equations(線性方程組的簡潔表示)

$$\{\begin{array}{c}2x_1+3x_2+5x_3=1\\ 4x_1-2x_2-7x_3=8\\ 9x_1+5x_2-3x_3=2\end{array}$$
可以寫成：$\left[\begin{array}{ccc}2& 3& 5\\ 4& -2& -7\\ 9& 5& -3\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ x_3\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}1\\ 8\\ 2\end{array}\right]$.一般來說，一個線性方程組都可以表示為$Ax=b$的形式
  前面還是挺簡單的，就是本科線性代數裡的東西，主要是想把之前學過的碎片化的數學知識穿起來形成體系。