GAMES101系列筆記一 圖形學概述與線性代數入門

又啦發表於2020-11-11

概述+線性代數

為什麼學習圖形學?

Computer Graphics is AWESOME!

主要涉及內容:

  • 光柵化
  • 曲線和網格
  • 光線追蹤
  • 動畫與模擬

Differences between CG and CV:

線性代數回顧

向量(Vectors)

  • 方向和長度

    模長:\(||\vec{a}||\)

  • 沒有確定的起點

  • 單位向量:模長為1

    單位化向量: \(\hat{a} = \vec{a}/||\vec{a}||\)

  • 向量求和:

  • 列向量,轉置,模長的計算方式

    \(\boldsymbol{A} = \begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix} \quad \boldsymbol{A}^T = \begin{pmatrix}x&y\end{pmatrix} \quad ||\boldsymbol{A}|| = \sqrt{x^2+y^2}\)

  • 點乘(Dot/scalar Product)

  • 點乘定義:

    \(\vec{a} \cdot \vec{b} = ||\vec{a}||\,||\vec{b}||cos\theta\)

    \(cos\theta = \frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{||\vec{a}\||\,||\vec{b}||}\)

  • For unit vectors:

    \(cos\theta = \hat{a}\cdot\hat{b}\)

  • 交換律、結合律、數乘

直角座標系下,計算更為方便:

  • 2D:

    \(\vec{a}\cdot\vec{b} = \begin{pmatrix}x_a \\y_a\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}x_b \\y_b\end{pmatrix} = x_ax_b+y_ay_b.\)

  • 3D:

    \(\vec{a}\cdot\vec{b} = \begin{pmatrix}x_a \\y_a\\z_a\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}x_b \\y_b\\z_b\end{pmatrix} = x_ax_b+y_ay_b+z_az_b.\)

  • 投影:

$\vec{b}_\perp:\vec{b}$ 在 $\vec{a}$ 上的投影;

$\vec{b}_\perp = k\hat{a};$ 

$k = ||\vec{b}_\perp|| = ||\vec{b}||cos\theta$
  • 點乘可以告訴我們前和後的關係

  • 叉乘(Cross\Vector product)

    • 兩個向量相乘,得到一個與這兩個向量都相等的向量;

      \(\vec{a}\times\vec{b} = -\vec{b}\times\vec{a}\)

      \(\vec{a}\times\vec{a} = \vec{0}\)

      \(||\vec{a}\times\vec{b}|| = ||\vec{a}||\,||\vec{b}||sin\phi\)

      方向由右手螺旋定則確定

    • 笛卡爾座標系下的計算方法:

      \(\vec{a}\times\vec{b} = \begin{pmatrix}y_az_b-y_bz_a \\ z_ax_b - x_az_b \\ x_ay_b-y_ax_b\end{pmatrix} = A*b = \begin{pmatrix}0 & -z_a& y_a \\ z_a & 0 & -x_a \\ -y_a & x_a & 0\end{pmatrix}\)

      \(A\)\(\vec{a}\) 的對偶矩陣。

    • 叉乘在圖形學中的作用

      判定左和右(一次叉乘),判斷內和外(三次叉乘)

  • 正交系

    • 三個單位向量

      $ ||\vec{u}|| = ||\vec{v}|| = ||\vec{w}|| = 1$

    • 兩兩垂直

    \(\vec{u}\cdot\vec{v} = \vec{v}\cdot\vec{w} = \vec{u}\cdot\vec{w}\)

    • 右手系

      \(\vec{w} = \vec{u}\times\vec{v}\)

    • 任何一個向量可以由這三個向量表示

      \(\vec{p} = (\vec{p}\cdot\vec{u})\vec{u} + (\vec{p}\cdot\vec{v})\vec{v} + (\vec{p}\cdot\vec{w})\vec{w}\)

      因為\(\vec{u}\ \vec{v}\ \vec{w}\) 都是單位向量,所以可以用 \(\vec{p}\) 在其上的投影乘以其本身來得到一個維度的分量。

  • 矩陣(Matrices)

    • 矩陣乘矩陣

      維度需滿足:

      \((M\times N)(N\times P) = (M\times P)\)

      (3 2)(2 4)= (3 4)

    • 不符合交換律。但符合結合律和分配律。

      \((AB)C = A(BC)\)

      \(A(B+C) = AB + AC\)

      \((A+B)C = AC + BC\)

    • 矩陣向量乘

      \(y\) 軸映象

      \(\begin{pmatrix}-1 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-x \\ y\end{pmatrix}\)

    • 矩陣的轉置

      \((AB)^T = B^TA^T\)

    • 單位矩陣

      \(I_{3\times3} = \begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}\)

      \(AA^{-1} = A^{-1}A = I;\quad (AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}\)

    • 向量乘法的矩陣形式

      \(\vec{a}\cdot\vec{b} = \vec{a}^T\vec{b}\)

      \(\vec{a}\times\vec{b} = \begin{pmatrix}y_az_b-y_bz_a \\ z_ax_b - x_az_b \\ x_ay_b-y_ax_b\end{pmatrix} = A^*b = \begin{pmatrix}0 & -z_a& y_a \\ z_a & 0 & -x_a \\ -y_a & x_a & 0\end{pmatrix}\)

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