線性代數基礎知識
此處只補充部份線代內容。
向量點乘
公式：\(\vec{a} \cdot \vec{b} = ||\vec{a}|| ||\vec{b}|| \cos \theta\)
同時也可以獲得兩個向量的餘弦角：\(\cos\theta = \dfrac{\vec{a}\cdot \vec{b}}{||\vec{a}|| ||\vec{b}||}\)
如果是單位向量的話，模長為1，於是有：\(\cos\theta = \vec{a}\cdot \vec{b}\)
笛卡爾座標系下的點乘為逐點相乘後相加：
In 2d Cartesian Coordinates:
\[\vec{a} \cdot \vec{b} =
\begin{pmatrix}
x_a \\ y_a
\end{pmatrix} \cdot
\begin{pmatrix}
x_b \\ y_b
\end{pmatrix} =
x_a x_b + y_a y_b
\]
In 3d Cartesian Coordinates:
\[\vec{a} \cdot \vec{b} =
\begin{pmatrix}
x_a \\ y_a \\ z_a
\end{pmatrix} \cdot
\begin{pmatrix}
x_b \\ y_b \\ z_b
\end{pmatrix} =
x_a x_b + y_a y_b + z_az_b
\]
用點乘獲得向量投影：
- \(\vec{b}_{\bot}\)表示向量\(\vec{b}\)在向量向量\(\vec{a}\)上的投影
- \(\vec{b}_{\bot}\)方向一定和\(\vec{a}\)的單位向量\(\hat{a}\)同向或反向：\(\vec{b}_{\bot} = k\hat{a}\)
- \(k\)具體值如下：
\[k = ||\vec{b}_{\bot}|| = ||\vec{b}|| \cos \theta
\]
點乘的一些應用：
-
測量兩個向量的方向差
用點乘公式獲得餘弦角。
-
分解向量：
利用投影將向量\(\vec{b}\)分解到向量\(\vec{a}\)的方向上，獲得\(\vec{b}_\bot\)，然後讓\(\vec{b}\)減去該投影向量\(\vec{b}_\bot\)獲得剩餘向量\(\vec{b} - \vec{b}_\bot\)，獲得了\(\vec{b}\)的兩組正交向量\(\vec{b}_\bot\)和\(\vec{b} - \vec{b}_\bot\)。
-
判斷兩個向量是否是前向/反向：
點乘的結果是正數，根據公式可知餘弦角小於90度，表示兩個向量都是前向的；相反如果結果是負數，說明餘弦角大於90度，兩個向量是反向的。
