定理：一個\(n\times n\)矩陣\(A\)可正交對角化的充要條件是\(A\)是對稱矩陣。
證明：
必要性：若\(A\)可正交對角化，\(A=PDP^{T}\)，顯然\(A^T=A\)
充分性：
設\(A\)的特徵值為\(\lambda_1,...,\lambda_n\)，\(\varepsilon_1\)為\(\lambda_1\)的單位特徵向量，將\(\varepsilon_1\)擴充為一組實向量標準正交基\(\varepsilon_1,\eta_2,...,\eta_n\)
構造\(Q_1=\begin{pmatrix} \varepsilon_1,\eta_2,...,\eta_n \end{pmatrix}\)
有\(Q_1^TAQ_1=\begin{pmatrix} \lambda_1 & *\\ 0 & A_1 \end{pmatrix}\)
因為\(Q_1^TAQ_1\)與\(A\)相似，所以\(A_1\)的特徵值為\(\lambda_2,...,\lambda_n\)
同理得到\(Q_2^TA_1Q_2=\begin{pmatrix}\lambda_2 & *\\0 & A_2\end{pmatrix}\)
有\(\begin{pmatrix}1 & 0\\0 & Q_2^T\end{pmatrix}Q_1^TAQ_1\begin{pmatrix}1 & 0\\0 & Q_2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\lambda_1 & * & *\\0 & \lambda_2 & *\\ 0 & 0 &A_2\end{pmatrix}\)
依次執行最終得到\(Q^TAQ=T\)，\(T\)為上三角矩陣且對角線為\(\lambda_1,...,\lambda_n\)
又\(T^T=Q^TA^TQ=Q^TAQ=T\)，故\(T\)為對角矩陣