【Notes_8】現代圖形學入門——幾何(基本表示方法、曲線與曲面)

czya 發表於 2021-02-25

幾何

幾何表示

隱式表示

不給出點的座標,給數學表示式
優點 可以很容易找到點與幾何之間的關係

【Notes_8】現代圖形學入門——幾何(基本表示方法、曲線與曲面)

缺點 找某特定的點很難

【Notes_8】現代圖形學入門——幾何(基本表示方法、曲線與曲面)

更多的隱式表示方法

Constructive Solid Geometry 、Distance Functions 、Level Set Methods 、Fractals

顯示錶示

直接給出點或者引數對映
優點 找某一點很容易
缺點 判斷點與幾何之間的關係很困難

更多的顯式表示方法

Triangle meshes 、Bezier surfaces 、Subdivision surfaces 、NURBS 、Point clouds。
其中需要強調的一點在圖形學中,顯示儲存在檔案的格式是wavefront object file。

【Notes_8】現代圖形學入門——幾何(基本表示方法、曲線與曲面)

其中,\(v:\)頂點、\(v_n:\)法線、\(v_t:\)紋理座標、\(f\)引數詳解:(頂點座標 紋理座標 法線座標)

曲線與曲面

貝塞爾曲線(Bézier Curves)

貝塞爾曲線是計算機圖形影像造型的基本工具,是圖形造型運用得最多的基本線條之一,是依據四個位置任意的點座標繪製出的一條光滑曲線。

【Notes_8】現代圖形學入門——幾何(基本表示方法、曲線與曲面)

代數表示

主要是通過反覆迭代實現,迴圈體是每兩個點之間的通過特定的比例 \(t\) ,得到一個新的點;終止條件是最後只有一個點。

【Notes_8】現代圖形學入門——幾何(基本表示方法、曲線與曲面)
【Notes_8】現代圖形學入門——幾何(基本表示方法、曲線與曲面)
【Notes_8】現代圖形學入門——幾何(基本表示方法、曲線與曲面)

貝塞爾曲線性質

1. 端點性質
頂點P0和Pn分別位於曲線段的起點和終點上,曲線不通過其他控制點,即“逼近”而非“插值”。

【Notes_8】現代圖形學入門——幾何(基本表示方法、曲線與曲面)

2. 一階導數

  • Bernstein基函式的一階導數為
【Notes_8】現代圖形學入門——幾何(基本表示方法、曲線與曲面)
  • Bezier曲線的一階導數為
【Notes_8】現代圖形學入門——幾何(基本表示方法、曲線與曲面)

Bezier曲線的起點和終點處的切線方向和特徵多邊形的第一條邊及最後一條線的走向一致。

【Notes_8】現代圖形學入門——幾何(基本表示方法、曲線與曲面)

3. 幾何不變性
指某些幾何特性不隨座標變換而變化的特性。Bezier曲線的形狀僅與控制多邊形各頂點的相對位置有關,而與座標系的選擇無關。

4. 凸包性
Bezier曲線落在控制點Pi構成的凸包內

【Notes_8】現代圖形學入門——幾何(基本表示方法、曲線與曲面)

分段貝塞爾曲線

當控制貝塞爾曲線的控制點多的時候,可以通過分段生成貝塞爾曲線來實現。

【Notes_8】現代圖形學入門——幾何(基本表示方法、曲線與曲面)

貝塞爾曲線拼接

【Notes_8】現代圖形學入門——幾何(基本表示方法、曲線與曲面)
【Notes_8】現代圖形學入門——幾何(基本表示方法、曲線與曲面)

貝塞爾曲面

【Notes_8】現代圖形學入門——幾何(基本表示方法、曲線與曲面)
【Notes_8】現代圖形學入門——幾何(基本表示方法、曲線與曲面)

幾何操作

曲面的幾何操作主要有:曲面細分、曲面簡化、曲面正則化。

曲面細分

曲面細分主要有以下兩個主要的步驟:1.建立更多的面(頂點) 2.移動面(頂點)的位置

Loop Subdivision

Loop Subdivision主要是針對三角形曲面的細分
1. 建立更多的面(頂點)

【Notes_8】現代圖形學入門——幾何(基本表示方法、曲線與曲面)

2. 移動頂點的位置

【Notes_8】現代圖形學入門——幾何(基本表示方法、曲線與曲面)

Catmull

【Notes_8】現代圖形學入門——幾何(基本表示方法、曲線與曲面)

奇異點:與點相連線的邊不為4的點
face point:每個面中的點,用周圍點的平均值代表

【Notes_8】現代圖形學入門——幾何(基本表示方法、曲線與曲面)

曲面簡化