對於一個線性規劃問題，若其有最優解，那麼其對偶問題也有最優解，且最優值相等。
如果對於一個困難的線性規劃問題，其對偶形式比較簡單，此時就可以透過線性規劃對偶，解決其對偶問題，從而解決原問題。
線性規劃的原問題與對偶問題的變化規則：
對於一個標準型線性規劃：
\[\max \quad C^Tx\\
s.t. \quad Ax\le B\\
x\ge 0
\]
其對偶線性規劃為：
\[\min \quad B^Ty\\
s.t. \quad A^Ty\ge C\\
y\ge 0
\]
這裡還有一張表格，可以應對更一般的線性規劃對偶：
| 原問題（或對偶問題） | 對偶問題（或原問題） |
|---|---|
| 目標函式 \(\max X\) | 目標函式 \(\min Y\) |
| 變數 \(\begin{cases}n\ 個 \\ \ge 0 \\ \le 0 \\ 無約束\end{cases}\) | 約束條件 \(\begin{cases}n\ 個 \\ \ge \\ \le \\ =\end{cases}\) |
| 約束條件 \(\begin{cases}m\ 個 \\ \le \\ \ge \\ =\end{cases}\) | 變數 \(\begin{cases}m\ 個 \\ \ge 0 \\ \le 0 \\ 無約束\end{cases}\) |
例 \(1\)：求下列線性規劃問題的對偶問題。
\[\min X=2x_1+3x_2-5x_3+x_4
\]
\[\begin{cases}x_1+x_2-3x_3+x_4\ge 5\\2x_1+2x_3-x_4\le 4\\x_2+x_3+x_4=6\\x_1\le 0\\x_2,x_3\ge 0\\x_4\ 無約束\end{cases}
\]
解 \(1\)：
將 \(\min X\) 變為 \(\max Y\)，設 \(3\) 個變數 \(y_1,y_2,y_3\) 分別對應 \(3\) 條限制，一共 \(4\) 條限制對應 \(4\) 個變數，並且將限制中的常量與目標函式中的係數互換。
\[\max Y = 5 y_1 + 4 y_2 + 6 y_3
\]
\[\begin{cases}y_1+2y_2\ge 2\\y_1+y_3\le 3\\-3y_1+2y_2+y_3\le -5\\y_1-y_2+y_3=1\\y_1\ge 0\\y_2\le 0\\y_3\ 無約束\end{cases}
\]