分數規劃學習筆記

1. 用途

分數規劃常用於求一個分式的極值，就是給出兩個序列\(a_i\)和\(b_i\)，使得\(\dfrac{\sum a_i\times w_i}{\sum b_i\times w_i}\)的值最大或最小，其中\(w \in \{0,1\}\)

通常，題目中還會有類似於\(\sum b_i>w\)的限制

2. 解法

通常使用二分，記當前二分的值為mid

\[\begin{aligned}&\because \dfrac{\sum a_i\times w_i}{\sum b_i\times w_i}\ge mid\\&\therefore \sum a_i\times w_i\ge mid\times \sum b_i\times w_i\\&\therefore\sum a_i\times w_i-mid\times \sum b_i\times w_i\ge 0\\&\therefore \sum w_i \times (a_i-mid\times b_i)\end{aligned} \]

所以，在每一次check的時候，求出不等式右邊的最大值判斷即可，而這一部分顯然可以用0/1揹包完成

3. 例題

P4377 [USACO18OPEN] Talent Show G

按照上述方法二分即可，對於重量的限制可以以重量為下標，求0/1揹包判斷即可

程式碼：

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define ll long long
using namespace std;
int n,w,a[255],b[255];
ll f[10005];
bool check(int x)
{
	memset(f,128,sizeof(f));
	f[0]=0;
	ll tmp=f[w];
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		for(int j=w;j>=0;j--)
		{
			if(tmp==f[j]) continue;
			int k=j+a[i];
			k=min(k,w);
			f[k]=max(f[k],f[j]+b[i]-1ll*a[i]*x);
		}
	}
	if(f[w]>=0) return 1;
	return 0;
}
int main()
{
	scanf("%d%d",&n,&w);
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		scanf("%d%d",&a[i],&b[i]);
		b[i]*=1000;
	}
	int l=0,r=100000;
	while(l<r)
	{
	//	printf("%d %d\n",l,r);
		int mid=(l+r+1)>>1;
		if(check(mid))
		{
			l=mid;
		}
		else r=mid-1;
	}
	printf("%d",l);
	return 0;
}