01分數規劃

cn是大帅哥886發表於2024-08-14

基礎知識

定義

01分數規劃問題：

01分數規劃問題主要包含一般的01分數規劃、最優比率生成樹問題、最優比率環問題、最大密度子圖等。我們將會對這四個問題進行討論。

解決這類問題有兩種方法：二分法，Dinkelbach 演算法，下文我只會用二分法（通常也用二分法）

所謂的01分數規劃問題就是指這樣的一類問題，給定兩個陣列，a[i]表示選取i的收益，b[i]表示選取i的代價。如果選取i，定義x[i]=1，否則x[i]=0。

每一個物品只有選或者不選兩種方案，求一個選擇方案使得R=sigma(a[i]*x[i])/sigma(b[i]*x[i])取得最值，即所有選擇物品的總收益/總代價的值最大或是最小。 一般來講就是求一個最優比率。

當然選擇物品的時候可能會有限制

推導

永遠要記得，我們的目標是使R取到最值（R在不同問題中可能不一樣，取的是最大最小值也不一定）一定要記住這一點，在下文我會反覆提及。那麼如何讓R取到最值？我們可以透過數學推導來求出來

我們先不管選和不選，假設它一定選

R=sigma(a[i])/sigma(b[i])，求R的最值

我們假定現在有一個解ans

我們想讓R最大，那必然有： R>=ans

由於我們想讓R最大，那麼就讓ans越大。所以我們考慮二分ans即可，當然，在此之前我們要整理一下這個式子方便後續的二分，注意由於涉及除法，一般二分都要用分數二分，注意精度問題

sigma(a[i])/sigma(b[i]) >= ans

sigma(a[i]) >= sigma(b[i])*ans

sigma(a[i]) - sigma(b[i])*ans >=0 倒數第二步

sigma(a[i] - b[i]*ans) >=0 最後一步

到此，就可以了

從倒數第二步推到最後一步

sigma(b[i])*ans = sigma(b[i]*ans)

你可能不知道為什麼這樣是正確的，很簡單，我們簡單證明下。

sigma(b[i])*ans = (b[1]+b[2]+...+b[n])*ans = (b[1]*ans+b[2]*ans+.....+b[n]*ans)

sigma(b[i]*ans) = (b[1]*ans+b[2]*ans+.....+b[n]*ans)

好了證畢

部分程式碼

這裡貼上分數二分的板子：

double R=1e8, L=0;
	while (R-L>1e-5)
	{
		double mid=(L+R)/2;
		if (check(mid)) 
		{
			ans=mid;
			L=mid;
		}
		else R=mid;
	}

　　

至於check函式，就是我們上述要求的

sigma(a[i] - b[i]*ans) >=0

看看這個式子是否成立，也就是左式是否大於0

check函式的寫法有很多，因題而異，例如：貪心，dp，揹包，等等等等

可能與什麼知識點結合

分數規劃一般來講不會單獨成題，一般來講有以下幾種形式：

0.不與任何演算法結合，即分數規劃裸題

1.與01揹包結合，即最優比率揹包

2.與生成樹結合，即最優比率生成樹

3.與負環判定結合，即最優比率環

4.與網路流結合，即最大密度子圖

5.與其他的各種帶選擇的演算法亂套，即最優比率啥啥的...

例如：

6.與費用流結合，即最優比率流（這個是我亂叫的）

我們看一個例題加深一下印象

分數規劃裸題（板子題）

https://www.luogu.com.cn/problem/P1570

題目要求n個物品中選m個，使得 sigma(v[i]) / sigma(c[i]) 最大化，這樣看上去，不就是上述推導嗎？不過多了一個限制條件，我們就不重新推式子了，還是這個式子

sigma(v[i] - c[i]*ans) >=0

想讓這個式子最大，可以用貪心的思想，給每個這樣的值排個序，取前m個相加即可，很簡單

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=205;

int n, m, v[N], c[N];
double a[N], ans=0;
bool cmp(double a, double b)
{
	return a>b;
}
bool check(double x)
{
	double res=0;
	
	for (int i=1; i<=n; i++) a[i]=v[i]*1.0-c[i]*x*1.0;
	sort(a+1, a+1+n, cmp);
	
	for (int i=1; i<=m; i++) res+=a[i];
	
	return res>=0.0;
}
int main()
{
	scanf("%d%d", &n, &m);
	for (int i=1; i<=n; i++) scanf("%d", &v[i]);
	for (int i=1; i<=n; i++) scanf("%d", &c[i]);
	
	double R=1e5, L=0;
	while (R-L>1e-5)
	{
		double mid=(L+R)/2;
		if (check(mid)) 
		{
			ans=mid;
			L=mid;
		}
		else R=mid;
	}
	
	printf("%.3lf", ans);
	return 0;
}

　　

最優比率生成樹

https://www.luogu.com.cn/problem/P4951

題目要使 f-sigma(c[i]) / sigma(t[i]) 最大化，且這些值只在每條邊上，要選出n-1條邊使圖連通的前提下滿足這個式子最大值

乍一看式子改變了，限制條件也變了，那不簡單？重推一遍就好了

假定現問題有一個答案是ans

f-sigma(c[i]) / sigma(t[i]) >= ans

f-sigma(c[i]) >= sigma(t[i])*ans

f-sigma(c[i]) - sigma(t[i])*ans >=0

f-sigma(c[i]-t[i]*ans) >= 0

令res=sigma(c[i]-t[i]*ans)，即

f-res>=0

由於在這個式子中，要使得成立，應該讓res儘可能的小，注意我們check函式求的就是res，所以這裡求的時候是要求最小而不是上題中的最大了！

我們現在就考慮check函式如何寫了。這裡因為要使圖連通，且滿足這個式子最小，那就可以考慮用最小生成樹了

注意check函式，因為要呼叫多次，所以要提前保留邊的資訊（u，v），不然每次進行排序都會打亂這些資訊，所以每次進入check要初始化這些邊的資訊！！！

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=10005;

struct node
{
	int u, v;
	double w;
}a[N];
int n, m, k, u1[N], v1[N], c[N], t[N], cnt=0, f[N];
double sum=0, ans=0;
int find(int x)
{
	if (f[x]==x) return x;
	return f[x]=find(f[x]);
}
bool cmp(node a, node b)
{
	return a.w<b.w;
}
bool check(double x)
{
	for (int i=1; i<=m; i++) 
	{
		a[i].w=c[i]*1.0+t[i]*1.0*x;
		a[i].u=u1[i], a[i].v=v1[i];
	}
	sort(a+1, a+1+m, cmp);
	
	for (int i=1; i<=n; i++) f[i]=i;
	cnt=0, sum=0;
	
	for (int i=1; i<=m; i++)
	{
		int u=a[i].u, v=a[i].v;
		double w=a[i].w;
		int fu=find(u), fv=find(v);
		if (fu!=fv)
		{
			f[fu]=fv;
			cnt++, sum+=w;
		}
		if (cnt==n-1) break;
	}
	
	return (k-sum)>=0;
}
int main()
{
	scanf("%d%d%d", &n, &m, &k);
	for (int i=1; i<=m; i++) scanf("%d%d%d%d", &u1[i], &v1[i], &c[i], &t[i]);
	
	double R=1e12, L=0;
	while (R-L>1e-8)
	{
		double mid=(R+L)/2;
		if (check(mid))
		{
			ans=mid;
			L=mid;
		}
		else R=mid;
	}
	
	printf("%.4lf", ans);
	return 0;
}

　　

至此，問題得到完美解決

最優比率揹包

https://www.luogu.com.cn/problem/P4377

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