運籌優化（十）--整數規劃求解

分支界定法

1．分枝定界法的思想

分枝定界法通過增加附加約束條件，使整數最優解最終成為線性規劃的一個極點(頂點)，於是整個問題就可使用單純形法找到這個整數最優解；對有約束條件的最優化問題（其可行解為有限數）的可行解空間恰當地進行系統搜尋，這就是分枝與定界的內容。通常，把全部可行解空間反覆地分割為越來越小的子集，稱為分枝；並且對每個子集內的解集計算一個目標下界，這稱為定界。在每次分枝後，凡是界限不優於已知可行解集目標值的那些子集不再進一步分枝，這樣，許多子集可不予考慮，這稱為剪枝。這就是分枝定界法的主要思路。

下面通過例子說明分枝定界法的步驟。

2．用分枝定界法求解整數規劃

例1: 某廠擬購進甲、乙兩類機床生產新產品。已知甲、乙機床進價分別為2萬元和3萬元；安裝佔地面積分別為4m2和2m2；投後的收益分別為3百元/日和2百元/日。廠方目前僅有資金14萬元，安裝面積18m2，為使收益最大，廠方應購進甲、乙機床各多少臺？

解：設應購進甲、乙機床臺數分別為x1和x2，對此問題可建立整數規劃數模如下：

（1）去掉約束(4)，用圖解法求得對應的鬆弛問題LP0（鬆弛問題LP0與原模型的區別：僅不含整數約束，目標函式與其他約束均同。）的最優解（見圖1）。

圖1

由圖1知，鬆馳問題的最優解為h點：，Z(0)=14.75

由此可知ILP的最優解為：0≤z* ≤ Z(0)*=14.75,  且必為整數，從而可以斷言： 0≤z* ≤14。因 x1=3.25 ，x2=2.5非整數解，故選擇一個非整數變數分枝，這裡選x1，即對 3 ≤ x1 ≤ 4 進行分枝。

（2）對上問題分枝構成兩個子問題數模LP1和LP2如下：

子問題數模 LP1                 子問題數模LP2

max  Z=3x1+2x2                  max  z=3x1+2x2 

（3）對這兩個子問題數模用圖解法求得最優解分別為 (見圖1)：

  　　記Z*為當前最好的整數解，則Z*＝Z(2)＝14

（4）由於Z(1)>  =14，對子問題LP1需繼續分枝，選擇x2分枝得到子問題LP3和LP4如下：

子問題數模LP3                子問題數模LP4

max  Z=3x1+2x2                  max  Z=3x1+2x2

（5）對LP3和LP4兩個子問題數模用圖解法求得最優解分別為（見2）：

X(3)=(3, 2) T,     Z(3)=13

X(4)=(2.5, 3) T,   Z(4)=13.5

（6）此時由於所有子問題的目標值均小於或等於Z(2)，故Z* =Z(2)=14。最優解為：

X* =X(2)=(4,1)T ,  Z * =14

由此可知，例1的最優解是：工廠應購進甲類機床4臺，乙類機床1臺，可獲最大收益為14(百元/日)。

3．分枝定界法的一般步驟

設有最大化的整數規劃問題A ，與它相對應的鬆弛問題為 B。

（1）先不考慮原問題的整數約束，求解相應的鬆弛問題。用圖解法或單純形法求得最優解，記為 。

（2）若求得的最優解 剛好就是整數解，則該整數解就是原整數規劃問題的最優解；否則，對原問題進行分枝尋求整數最優解。

（3）分枝。根據對變數重要性的瞭解，在最優解中選擇一個不符合整數約束條件的xj ，其值為bj ，以[bj]表示小於bj 的最大整數。構造兩個約束條件: x≤ [bj]和 x≥[bj]+1分別加入原LP問題形成兩個子問題，因為[bj] 與[bj]+1之間無整數，故這兩個子集內的整數解必定與原可行解集合整數解一致，這一步稱為分枝。

（4）定界。首先判斷各個子問題是否存在整數解。若存在，找出目標函式值最大對應的整數解，設為Z*，則A問題的整數解目標函式Z≥Z*，這就是定界。而且分枝過程中，一旦有某個子問題Z≥Z*，則令Z*＝Z。

（5）若存在大於Z*的子問題則需分枝。第（4）步中若不存在整數解，也需繼續分枝尋找整數解，並從目標函式值最大對應的子問題先分枝。

（6）若所有子問題的目標值都小於等於Z*，則不需繼續分枝，Z*所對應的整數解即為最優解。

割平面法

1．割平面法思想

分枝定界法是對原問題可行解域進行了切割，切割的方法是對取非整數解相鄰整數作附加約束，這些附加約束從圖解的幾何概念上說，是一些相當於切割可行解域的超平面，它們的特點是與座標軸平行，雖然約束方程簡單，但子問題卻由於分枝的增多而呈指數增長。為了克服上述缺點，本節介紹的割平面法則採用另一種切割辦法，既要切割掉非整數解域，又不希望對原問題進行分枝。

割平面法的基礎仍然是用解線性規劃的方法去解整數規劃問題。首先不考慮變數為整數這一約束條件。但增加線性約束條件(用幾何術語，稱為割平面)使得從原可行解域中切割掉一部分，這部分只包含非整數解，但沒有切割掉任何整數可行解。因此，採用割平面法的關鍵是如何找到割平面約束方程，使切割後最終得到這樣的可行解域，它的一個有整數座標的極點恰好就是問題的最優解（見圖1示）。

2．割平面法的步驟

（1）去掉整數約束，用單純形法求解。若最優解是整數，停止計算，否則轉下一步；

（2）尋求附加約束(割平面方程)；

① 從最優表中抄下非整數解的某個約束方程；

② 將該約束方程的所有係數和常數分解為整數和正真分數之和；

③ 整數項（包括整係數項和整常數項）歸寫於方程左邊，真分數項寫於右邊；

④ 利用整數約束條件求出割平面方程。

（3）將割平面方程標準規範化後加到約束方程組中求解，如所得最優解仍為非整數，則轉到第（2）步繼續進行，直到找到最優整數解為止。

現舉例來說明割平面法解題步驟。

例1：求下列整數規劃模型：

解：（1）去掉整數約束。如果約束條件係數和右邊常數不是整數，則需化約束為整，而後才能標準規範化(這是保證所新增的鬆馳變數均為整數)。如下：

用單純形法迭代得最終表1。

表1

XB	x1	x2	x3	x4	b
x2	0	1	1/2	-1/2	5/2
x1	1	0	-1/4	3/4	13/4
-Z	0	0	-1/4	-5/4	-59/4

最優解：X1=13/4，X2=5/2，Z=59/4 為非整數解。

（2）尋找割平面方程。從最優表1中抄下非整數解的約束方程。例如第一個約束方程：

將①式的所有係數和常數分解為整數和正真分數之和，即：

將上式中的整係數項歸寫於方程左邊，真分數項寫於右邊，即有：

現對②式進行分析：考慮整數約束條件，②式左邊為整數，右邊的(·)內是正數；為保持方程平衡，所以②式右邊必是負數。因此有：

即有：，③式即為割平面方程。

對原數模引入割平面約束，將③式標準規範化（鬆馳變數x5也必為整數）：加到表1中，用對偶單純形法求解，求解過程示於表2。

表2

XB	x1	x2	x3	x4	x5	b
x2	0	1	1/2	-1/2	0	5/2
x1	1	0	-1/4	3/4	0	13/4
x5	0	0	[-1/2]	-1/2	1	-1/2
-Z	0	0	-1/4	-5/4	0	-59/4
x2	0	1	0	-1	1	2
x1	1	0	0	1	-1/2	7/2
x3	0	0	1	1	-2	1
Z	0	0	0	-1	-1/2	-58/4

得最優解為x1=7/2，x2=2，仍為非整數，故又轉入第二步求割平面方程。為此從表2中抄下非整數解x1=7/2的約束方程為：，按整數、分數歸併原則寫成：，考慮整數約束條件，上式左邊為整數；為保持方程平衡，因此上式右邊必為負數，有：

④式為割平面方程。將④式標準規範化：加到表2中，用對偶單純形法求解，求解過程如表3所示。得最優解：x1=4，x2=1，Z=56/4=14，為整數最優解，計算停止。

表3

XB	x1	x2	x3	x4	x5	x6	b
x2	0	1	0	-1	1	0	2
x1	1	0	0	1	-1/2	0	7/2
x3	0	0	1	1	-2	0	1
x6	0	0	0	0	[-1/2]	1	-1/2
-z	0	0	0	-1	-1/2	0	-58/4
x2	0	1	0	-1	0	2	1
x1	1	0	0	1	0	-1	4
x3	0	0	1	1	0	-4	3
x5	0	0	0	0	1	-2	1
-Z	0	0	0	-1	0	-1	-56/4

上述過程中找到的兩個用決策變數表示的割平面方程分別為：

2x1+2x2≤11

x1+x2≤5

它們的切割過程見圖1。由圖1可知：

①去掉整數約束，求得最優解為(3.25，2.5)，非整數解。

②第一個割平面方程：2x1+2x2≤11，得最優解為(3.5，2)，非整數解。

③第二個割平面方程：x1+x2≤5，得最優解為(4，1)，整數解。

圖1割平面尋優

0-1規劃和隱列舉法

當決策變數xi的取值僅為0或1時的規劃問題稱為0-1型整數規劃問題。它是整數規劃中的特殊情形，應用很廣泛，因此成為整數規劃中的一個重要分支。

0–1整數規劃雖然可用一般求整數規劃的方法求解。但0–1型整數規劃是整數規劃的一種特例，有自身的特殊解法――隱列舉法。現舉例說明。

1.　0－1規劃數學模型

例1：某廠擬在A，B，C，D，E五個城市中建立若干產品經銷聯營點，各處設點都需資金、人力、裝置等，需求量以及能提供的利潤各處不同，有些點可能虧本，但卻能獲得貸款和人力等。假設資料已知，見表1，為使總收益最大，問廠方應作何種最優選點決策？

表1

資源 城市	應投資金 （百萬元）	應投人力 （人）	應投裝置 （套）	利潤 （十萬元）
A	4	5	1	4.5
B	6	4	1	3.8
C	12	12	1	9.5
D	-8	3	0	-2
E	1	-8	0	-1.5
限制資源	20	15	2

解：上述各城市是否被選，可用決策變數xj表示(j=1,2,…5)，xj=1表示被選，否則xj=0，根據已知資料可建數模如下：

每個城市都有可能入選和不入選，即xj取值有0或1兩種狀態；有五個變數，這樣的0，1組合就共有25=32個。把每種組合列出，代入約束方程檢驗是否可行，這是一項很繁瑣的工作，並且找出可行組合後還要代入目標函式去比較得出最優解，因此，用列舉法僅對一些小型問題是可行和有效的。當變數個數增多時，組合解個數是按指數規律倍增，用列舉法將會非常困難。

實際上只要我們按目標函式值從優到劣(本例是從大到小)順序列出組合，逐個檢驗其可行性，最先滿足所有約束方程的組合就是最優解；而劣於最優解的組合即使可行，也不用去列出和檢驗，這就相當於把列舉法得出的所有非優組合隱去不算了，故稱為隱列舉法。

2．隱列舉法求解步驟

（1）變換目標函式和約束方程組

① 價值係數Cj前的符號統一。 在目標要求極大時，統一帶負號；求極小時統一帶正號。方法是：在不滿足上述要求時，用代入目標函式。如例1求極大，x1，x2，x3前符號不滿足要求，用代入目標函式和約束方程；

② 按∣Cj∣值從小到大排列決策變數項。上例變換結果如下：

（2）用目標函式值探索法求最優解

組合又滿足全部約束條件，則它為最優解；否則，按劣於Z0的組合解方向探索可行解。為此，按公式（1）須由小到大逐項計算組合解的Σ|Cj|值及其相應的Z值，代入約束方程組檢查可行性，如全部滿足，即為最優解。

目標函式值探索法計算過程示於表2，得最優解為：x1=1-=1，x2=1-=0，x3=1-=1，x4=0，x5=1，即在A，C，E三個城市中設聯營點，可獲最大收益12.5(十萬元)。

表2

分配問題和匈牙利法

在生活中經常遇到這樣的問題，某單位需完成n項任務，恰好有n個人可承擔這些任務。由於每人的專長不同，各人完成任務 (或所費時間) 不同，效率也不同。於是產生應分派哪個人去完成哪項任務，使完成n項任務的總效率最高(或所需總時間最短)。這類問題稱為分派問題(Assignment Problem)。

1．分派問題數學模型

例1：有A、B、C、D四項任務需分派給甲、乙、丙、丁四個人去做，這四個人都能承擔上述四項任務，但完成各項任務所需時間如表1所示。問應如何分派任務可使完成任務的總工時最少？試建立基數學模型。

表1

任務 人	A	B	C	D
甲	9	17	16	7
乙	12	7	14	16
丙	8	17	14	17
丁	7	9	11	9

解：引入決策變數xij

指派問題的解矩陣應當是每行或每列只能有一個元素為1，其餘均為 0 的 n 階方陣。如例 1的一個解矩陣：

2．匈牙利法原理

分派問題是0-1規劃的特例，也是運輸問題的特例。雖然分派問題可用整數規劃、0-1規劃或運輸問題的解法去求解，但都很費事。匈牙利數學家柯尼格（D. Konig）提出了一種新穎而又簡便的解法，常稱為匈牙利法。

匈牙利法是針對目標要求極小問題提出來的。其基本原理是：為了實現目標極小，在係數矩陣元素Cij≥0的條件下，如果能使矩陣具有一組處於不同行又不同列的零元素（C’ij＝0）打上括號（），對應該元素的決策變數xij＝1，未打括號元素對應的決策變數xij＝0，那麼目標函式值Z＝為最小，這樣的組合解就是最優解。

定理1：從(cij )矩陣的每行(或列)減去或加上一個常數ui(或vj)構成新矩陣(c′ij)，c′ij= cij±(uI+vj )，則對應(c′ij)的(xij)最優解與原(cij )的最優解等價。

證明：如從新矩陣中得到最優解(xij)，則其目標函式值達到極值：其中：K為一常數，故當Z‘達到極值時Z也達到極值。所以(xij）也為原矩陣(cij )的最優解。

利用這個定理，可以使原係數矩陣(Cij)變換成含有很多0元素的新系數矩陣(c′ij)，從而最優解保持不變。

獨立的0元素：在係數矩陣(c′ij)中，位於不同行不同列的0元素。

若能在係數矩陣(c′ij)中找出n個獨立的0元素,則令解矩陣(Xij)中對應這n個獨立0元素的取值為1，其他元素取值為0。將其代入目標函式中得到Z’=0,因C′ij≥0,故它一定是最小值。這就是以(c′ij)為係數矩陣的分派問題的最優解，也就是原問題的最優解。

3．匈牙利法求解步驟

例2：求解例1中的最優解。

（1）變換系數矩陣，使其每行每列都出現0元素。首先每行減去該行最小數，再每列減去該列最小數。

－4

（2）進行試分派，尋求最優解

經過上一步變換後，係數矩陣每行每列都已有了0元素，此時需找出n個獨立的0元素，為此按下列步驟進行。

① 從只有一個0元素的行(兩個或兩個以上0元素的行暫時不考慮，跳過去)開始，給這個0元素打上括號（），記作（0），表示對這行所代表的人，只有一種任務可分派。同時劃去（0）所在列的其他0元素，記作φ。這表示這列所代表的任務已分派完，不必再考慮別人了。

② 給只有一個0元素的列(兩個或兩個以上0元素的列暫時不考慮，跳過去)的0元素打括號；然後劃去（0）所在行的其他0元素，記作φ。

③ 反覆進行①,②兩步，直到所有0元素都被打括號和劃掉為止。轉第⑤步。

④ 若仍有沒有打括號或劃掉的0元素，且同行(列)的0元素至少有兩個，則找有0元素的矩形閉迴路，任選一個0元素打括號，破閉迴路，直到所有0元素都已打括號或劃掉為止。

⑤ 若打括號0元素的數目m等於矩陣的階數n，那麼這分派問題的最優解已得到，否則轉第（3）步。

對例1中的係數矩陣變換後，按上面步驟進行試分派，如下：

，　　　　 

找到了4個獨立的0元素，解矩陣如（xij）示。即甲→D，乙→B，丙→A，丁→C。總工時：Z＝7×1＋7×1＋8×1＋11×1＝33。

例3下列係數矩陣出現0元素閉迴路，可通過第④步破閉迴路求解：

若所有的0元素都已打括號或劃掉，但獨立的0元素個數小於矩陣階數，還需下面的第三步繼續求解。

（3）用覆蓋理論繼續求解

定理2：覆蓋所有0元素的最少直線條數正好等於已打括號的0元素個數。

方法：作最少的直線覆蓋所有0元素。步驟如下：

① 對沒有打括號0元素的行打√號；

② 對已打√的行中所有0元素所對應的列打√號；

③ 再對打有√的列中打括號的0元素所對應的行打√號；

④ 重複②,③，直到得不出新的打√號的行、列為止。

⑤ 對沒有打√號的行畫一橫線，已打√號的列畫一縱線，這就得到了覆蓋所有0元素的最少直線數。

⑥ 在未被直線覆蓋的部分中找出最小數，然後未覆蓋區所有元素減去這個最小數；而覆蓋區的交叉元素加上剛才的最小數，其餘元素不變。這樣得到新的係數矩陣，它的最優解和原問題相同，轉第（2）步。

上面的覆蓋理論，主要是為了第⑥步，增加0元素的個數。

例4：下列係數矩陣得打括號的0元素個數小於矩陣階數，用覆蓋理論求最優解。

此時, 得最優解為：

4．非標準指派問題

匈牙利法只適用於符合以下三個條件的分派問題的求解：

① 目標函式為極小型；

② 係數矩陣為方陣；

③ 係數矩陣元素值非負。即：

對於不滿足上述三個條件的分派問題應轉化為標準指派問題。

（1）當分派問題目標要求極大時，即求，此時，可把求極大型轉變為求極小型，利用式：

即：，

再由定理1，矩陣(-Cij)nxn每行均可加上一個常數M(或令Cij中最大元素為M即可)，令：，這時係數矩陣可變換為：這時，bij≥0，B叫C的縮減矩陣。符合匈牙利法的條件。由定理1可知：所得的最小解就是原問題的最大解。

（2）係數矩陣不是方陣，目標仍為Min型問題：係數矩陣化為方陣。

其特點是：m 個人分派做 n 項工作，係數矩陣(Cij)為 m×n 矩陣，m ≠ n 。

①若 m < n ，則增添虛構的 s = n – m 行，補成方陣，但是對應的Cij=0 。

②若 m > n ，則增添虛構的 s = m – n 列，補成方陣，但是對應的Cij=0 。