運籌優化（十七）--儲存論基礎及其最優化求解

工廠為了生產, 必須儲存一些原料 , 把這些儲存物簡稱儲存。生產時從儲存中取出一定數量的原料消耗掉, 使儲存減少。生產不斷進行, 儲存不斷減少 , 到一定時刻必須對儲存給以補充,否則儲存用完了, 生產無法進行。

商店必須儲存一些商品(即儲存) ,營業時賣掉一部分商品使儲存減少, 到一定的時候 又必須進貨 , 否則庫存售空無法繼續營業。一般地說 , 儲存量因需求而減少, 因補充而增加。

從儲存模型來看大體上可分為兩類 : 一類叫作確定性模型, 即模型中的資料皆為確定的數值 ; 另一類叫作隨機性模型, 即模型中含有隨機變數 , 而不是確定的數值。

確定性儲存模型

不允許缺貨的經濟訂購批量模型（模型一）

凡需求量R、提前訂貨時間t確定已知的模型為確定性存貯模型。總成本最小的訂貨批量，稱為經濟訂貨批量（Economic  Ordering  Quantity，EOQ），其模型稱之為經濟批量模型。首先介紹不允許缺貨的訂購批量存貯模型，並求出其最優存貯策略（即最優解）。

1．模型假設與存貯狀態圖

該模型的假設如下：

(1) 需求是連續的、均勻的，設需求速率為常數R；

(2) 當儲存量降至0時，可立即得到補充，即供貨速率A＝＋∞。

(3) 每次訂貨量為Q、訂購費為CO，且都為常數。

(4) 單位存貯費Ch不變，沒有安全存貯量的要求。

(5) 不允許缺貨，即缺貨損失費用率CS為無窮大。

存貯量的變化情況如圖1所示。

存貯過程說明：每批定購物資量Q到達後立即入庫，然後以每單位時間耗用R的速率輸出，庫存量逐漸減少，經過一個週期t正好用完，這時第二批物資恰好補充入庫，不會出現短缺現象。考慮到物資需提前一定時間tL訂購，當存貯量降到L時就應提出訂購，L即為再訂貨點。

2．儲存模型

    (1) 決策變數：該問題的決策變數就是每次訂購量Q，由於問題是需求連續、均勻且不允許缺貨，變數Q可以轉化為變數t，即每隔t時間訂購一次，訂購量為Q＝Rt。

    (2) 目標函式：由於問題是線性的， 若t時間內平均費用最小，則總體平均費用就會最小。即目標函式f(t)為t時間內的平均總費用最小。先計算t時間裡的總費用：

    ① 訂貨費＝訂購費十貨物成本費＝CO十KRt(其中K為貨物單價)。

② 存貯費＝單位儲存費×累計存貯量

一個週期t內的累計存量為：

， Q為一個週期內的最大庫存量。

其幾何意義就是圖公式2中R斜線以下的三角形的面積。

單位存貯費用為 Ch(費用/件·時) ，一個週期t內的存貯費為：

則一個週期t內的總費用為：CO十KRt＋

③ 單位時間內的總存貯費（目標函式）為：

　　　     　　　　　　　 (公式1)

3．最優存貯策略

由公式1可以看到：單位時間內的訂購費與訂購週期t成反比，而單位時間內的存貯費與訂購週期t成正比。我們可以找到一個最佳的訂購週期t。

令：，得

最佳訂購週期：

                                               (公式2)

最佳訂購量：　　　　　　

   　　　　　　　　　　　　　　   (公式3)

再訂貨點：             

 （tL為提前訂購時間）　　　　　　　　　　(公式4)

公式3為著名的經濟訂購批量(Economic  Ordering  Quantity) 公式。由於

與K 無關，所以以後在費用函式中略去KR 這一項。如無特殊要求，將不再考慮此項費用，所以公式1可以改寫成:

    　　　　　　　　　　　　　　　　　　   (公式5)

把代入公式1，得最優單位時間的總存貯費：

           (公式6)

費用函式也可描述成訂購批量Q的函式：，用圖2描述，由費用函式曲線也可同樣匯出最佳。

按最優的經濟訂購批量，有：。從圖2也可看出，當單位時間的存貯費與單位時間的訂購費相等時的訂購量為總存貯費率的最低點。

例1：某批發公司向附近200多家食品零售店提供貨源，批發公司負責人為減少儲存費用，選擇了某種品牌的方便麵進行調查研究，以制定正確的儲存策略。調查結果如下：(1)方便麵每週需求量為3000箱；(2)每箱方便麵一年的儲存費為6元，其中包括貸款利息3．6元，倉庫費用、保險費用、損耗費用、管理費用等2.4元；(3)每次訂貨費為25元，其中包括：批發公司支付採購人員勞務費12元，支付手續費、電話費、交通費等13元；(1)方便麵每箱價格為30元。假定訂購提前期tL＝1天，試問該公司每次訂購多少箱方便麵，費用最小？訂購週期是多長？庫存為多少時發出訂貨請求？

解：由題意有：

Ch＝（元/周·箱），CO＝25（元/次），R＝3000（箱/周）

故　　　　　　＝

最小費用：

再訂貨點為：L＝R·tL＝3000×（1/7）＝427（箱），即當庫存降為427箱時，應馬上發出訂貨請求。

在此單礎上，公司根據具體情況對儲存策略進行了一些修改：

(1)將訂貨週期改為3天，每次訂貨量為3000×3×(52／365)＝1282箱；

(2)為防止每週需求超過3000箱的情況，決定每天多儲存200箱，這樣，第一次訂貨量為1482箱．以後每3天訂貨量l282箱；

(3)為保證第二天能及時到貨，應提前一天訂貨。再訂貨點為427十200＝627箱。這樣，公司一年的總費用為：

C＝×1282×6十(365÷3)×25十200×6＝8087．67（元）

經濟批量靈敏度分析

EOQ模型中所涉及的物資需要量、存貯費、訂貨費等存貯引數，一般是根據統計資料並估計計劃期的發展趨勢而確定的，往往與實際情況有一些誤差，依據這些引數計算的經濟訂購批量自然不夠十分精確；

另外，經濟訂購批量往往不是整數，而實際訂貨時，常常要求以一定的整數如整桶、整打等單位進行訂貨。為此，我們需要分析模型的各項引數發生偏差時對經濟訂購批量Q的影響程度以及經濟訂購批量的偏差對存貯總費用的影響程度，從而考查EOQ模型的可靠程度和實用價值，即對EOQ模型進行敏感性分析。

1.引數R、Co、Ch對Q*的影響

由經濟訂購批量公式知，引數需求率R、訂購費率Co、存貯費率Ch變動，對經濟訂購批量Q*的影響僅以平方根關係變動，影響並不顯著。如需求量R擴大到原來的δ倍，經濟訂貨批量只擴大為原來的倍。

2.經濟訂貨批量對總成本的影響  

當實際的訂購批量偏離經濟訂購批量時，平均總費用率都是增大。若某部門為了少佔用流動資金，希望存貯量比經濟訂購批量 Q*偏低；或資金方面不存在問題，主要擔心由於缺貨而造成的損失，寧可希望存貯量比經濟訂購批量Q*偏高。在這種情況下，所需支付的總費用f(Q) 比最佳訂購批量Q*時所需支付的總費用f(Q*) 會增加多少？

模型一中有：　　

　　　　　　　　　　　

 有：      （公式1）

公式1便是Q的實際增加或減少，而引起的總費用增加的數量。

下面給出實際Q的偏差情況引起的總費用增加的情況：

表1

	-0.5	-0.2	-0.1	0.1	0.2	0.3	0.5	1
	25%	2.5%	0.6%	0.45%	1.7%	3.5%	8.3%	25%

 

顯然，由於偏離最佳批量所引起的費用增加是相當小的，故最佳批量公式不靈敏。一般的訂貨量Q 比最佳訂購批量Q*略有增減而引起的費用增加不多,因此,可根據具體情況給出比較符合實際情況的訂貨批量Q。

同時，從表1中的資料還可看出，當Q＜Q*，f的增大較明顯表現出來；當Q＞Q*，總費用率f有所增大，但不太顯著。即正偏差靈敏度低，負偏差靈敏度較高

需求為離散型的隨機存貯模型

隨機性儲存模型主要是指需求是隨機的。隨機變數可以是離散型的，也可以是連續型的，因此隨機性存貯模型要比確定性存貯模型複雜、多樣。這裡，我們只介紹需求為隨機變數的單週期存貯模型，從而瞭解和掌握隨機存貯問題的一般處理方法。

單週期隨機存貯問題（single-period stochastic inventory problem）也稱“報童問題”（Newsboy problem），此問題的特點是：將單位時間看作一個週期，在這個週期內，產品市場需求是隨機變數，其概率分佈為已知，而整個週期內，訂購量的決定也是“一次性”的，並規定兩次訂購不發生聯絡。

下面討論需求為離散型的隨機存貯模型。

1．“賣報童問題”描述

報童向郵局訂購報紙賣報，每天報紙的銷售數量是個隨機變數，每出售1份報紙賺α元，若當天報紙末售出，餘下的退回郵局，每份要賠β元。根據以往經驗，每天報紙需求量x的概率為P(x)，問題是，報童每天應向郵局訂多少份報紙最好？

這是個典型的需求為離散隨機變數的單週期儲存問題。

2．最優訂購量模型

該報童每天準備報紙數為Q，由於需求是隨機變數，因此應該用最大盈利期望值或損失最小期望值來決定最優Q。

現從損失最小的角度考慮：

（1）若訂購過多，即 Q＞x （供過於求），報紙因不能售出而承擔的損失，其損失期望值為：

（2）若訂購過少，即Q＜x（缺貨），缺貨x－Q百份報紙失去銷售機會所造成的損失期望值為：

總損失費用期望值為：

由於報童訂購報紙的份數只能取離散值，所以不能用求導數的方法求極值。為此設報童每日出售報紙的份數為Q，其損失期望值應滿足以下兩個條件：

①　E[F(Q)]≤E[F(Q+1)]

②　E[F(Q)]≤E[F(Q-1)]

從①式推導有：

經化簡後得：

從②出發進行推導，有：

經化簡後得：　

因此最優訂購量Q應滿足下列不等式：

　　　　　　　　　　　　　　　（公式1）

公式1中最優訂購量Q的經濟含義是：選擇的最小訂貨量使得不缺貨的概率不低於這一服務水平。

Q*值的具體計算方法：將xi（xi＜xi+1，i=1,2,…）對應的概率pi逐個累加，當累加概率剛剛達到或超過SL時對應的需求量x就是最佳訂購量Q*。

例1： 某報亭出售某種日報，其需求量在500一1000份之間，需求的概率分佈如表1所示。又已知該報紙每售出100份利潤為22元，每積壓100份損失為20元，問報亭每天應訂購多少份這種報紙，利潤最大？

表1

需求數（份）	500	600	700	800	900	1000
概率	0.06	0.1	0.23	0.31	0.22	0.08
累計概率	0.06	0.16	0.39	0.70	0.92	1

解：由題意有：α＝22元，β＝20元

由表1的累計概率可知：　，

故報亭每天訂購該種日報的份數為800份。實際訂購時，可考慮訂購700到800分之間。

注意：有時問題不是很清晰地給出引數α、β值，但α可理解為供不應求時單位產品的所有損失成本（失去銷售機會而帶來的機會損失、由於缺貨帶來的額外損失，如違約金等缺貨成本等），β可理解為供過於求時單位產品的持有成本（如產品的貶值、週期內的庫存成本等）。

例2：某裝置上有一關鍵零件常更換，更換需求量x服從泊松分佈。根據以往的經驗該零件的平均需求量為5件，此零件的價格為100元/件。若零件用不完，到期末就完全報廢，或備件不足，待零件損壞後再去訂購就會造成停工損失180元，試確定期初應備多少備件最好?

解：供不應求時單位產品的損失成本為180元，而供過於求時單位產品的持有成本為100元，即：α＝180（元），β＝100（元）

故：

平均需求量為5，即隨機變數X服從引數λ=5的泊松分佈，其X分佈率為：

,分佈函式為：

查泊松分佈表，當Q＝6時：

而，故期初應準備6件零件最好。

以上對報童問題的分析是從損失期望值最小角度考慮而得出的結果，還可以從報童獲利的期望值最大來考慮問題：

（1）當需求x＜Q（供過於求）時，報童只售出x份報紙，共獲利αx元。未售出的報紙，滯銷損失為：β(Q – x)元。此時贏利的期望值：

（2）當x>Q (即供不應求)時,報童因為只有Q份報紙可供銷售，無滯銷損失，獲利的期望值：

由以上分析，知總的盈利期望值為：

　　　　　　　　　　　（公式2）

儘管考慮問題的角度一是考慮獲利最大，另一是考慮損失最小,但所得結果，即最優訂購量Q*的數值是相同的。