0. 寫在前面
超級簡單的模擬退火演算法實現ε٩(๑> ₃ <)۶з搭配最簡單的線性規劃模型進行講解！但是如果需要的話可以直接修改程式設計非線性問題哦(´つヮ⊂︎)
1. 模型描述及處理
1.1 線性規劃模型
\[max\,f(x)=10x_1+9x_2
\]
\(s.t.\)
\[6x_1+5x_2\leq{60}\tag{1}
\]
\[10x_1+20x_2\leq{150}\tag{2}
\]
\[0\leq{x_1}\leq{8}\tag{3}
\]
\[0\leq{x_2}\leq{8}\tag{4}
\]
1.2 引入懲罰函式處理模型
對約束條件引入懲罰函式：
-
對約束條件(1)，懲罰函式為：\(p_1=max(0,6x_1+5x_2-60)^2\)
-
對約束條件(2)，懲罰函式為：\(p_2=max(0,10x_1+20x_2-150)^2\)
那麼，該問題的懲罰函式可以表示為：
\[P(x)=p_1+p_2
\]
由此，可將該問題的約束條件放入目標函式中，此時模型變為：
\[min\,g(x)=-(10x_1+9x_2)+P(x)\quad\forall{x_1,x_2}\in{[0,8]}
\]
2. 程式實現
# 模擬退火演算法 程式：求解線性規劃問題（整數規劃）
# Program: SimulatedAnnealing_v4.py
# Purpose: Simulated annealing algorithm for function optimization
# v4.0: 整數規劃：滿足決策變數的取值為整數（初值和新解都是隨機生成的整數）
# Copyright 2021 YouCans, XUPT
# Crated：2021-05-01
# = 關注 Youcans，分享原創系列 https://blog.csdn.net/youcans =
# -*- coding: utf-8 -*-
import math # 匯入模組
import random # 匯入模組
import pandas as pd # 匯入模組 YouCans, XUPT
import numpy as np # 匯入模組 numpy，並簡寫成 np
import matplotlib.pyplot as plt
from datetime import datetime
# 子程式：定義最佳化問題的目標函式
def cal_Energy(X, nVar, mk): # m(k)：懲罰因子，隨迭代次數 k 逐漸增大
p1 = (max(0, 6*X[0]+5*X[1]-60))**2
p2 = (max(0, 10*X[0]+20*X[1]-150))**2
fx = -(10*X[0]+9*X[1])
return fx+mk*(p1+p2)
# 子程式：模擬退火演算法的引數設定
def ParameterSetting():
cName = "funcOpt" # 定義問題名稱 YouCans, XUPT
nVar = 2 # 給定自變數數量，y=f(x1,..xn)
xMin = [0, 0] # 給定搜尋空間的下限，x1_min,..xn_min
xMax = [8, 8] # 給定搜尋空間的上限，x1_max,..xn_max
tInitial = 100.0 # 設定初始退火溫度(initial temperature)
tFinal = 1 # 設定終止退火溫度(stop temperature)
alfa = 0.98 # 設定降溫引數，T(k)=alfa*T(k-1)
meanMarkov = 100 # Markov鏈長度，也即內迴圈執行次數
scale = 0.5 # 定義搜尋步長，可以設為固定值或逐漸縮小
return cName, nVar, xMin, xMax, tInitial, tFinal, alfa, meanMarkov, scale
# 模擬退火演算法
def OptimizationSSA(nVar,xMin,xMax,tInitial,tFinal,alfa,meanMarkov,scale):
# ====== 初始化隨機數發生器 ======
randseed = random.randint(1, 100)
random.seed(randseed) # 隨機數發生器設定種子，也可以設為指定整數
# ====== 隨機產生最佳化問題的初始解 ======
xInitial = np.zeros((nVar)) # 初始化，建立陣列
for v in range(nVar):
# xInitial[v] = random.uniform(xMin[v], xMax[v]) # 產生 [xMin, xMax] 範圍的隨機實數
xInitial[v] = random.randint(xMin[v], xMax[v]) # 產生 [xMin, xMax] 範圍的隨機整數
# 呼叫子函式 cal_Energy 計算當前解的目標函式值
fxInitial = cal_Energy(xInitial, nVar, 1) # m(k)：懲罰因子，初值為 1
# ====== 模擬退火演算法初始化 ======
xNew = np.zeros((nVar)) # 初始化，建立陣列
xNow = np.zeros((nVar)) # 初始化，建立陣列
xBest = np.zeros((nVar)) # 初始化，建立陣列
xNow[:] = xInitial[:] # 初始化當前解，將初始解置為當前解
xBest[:] = xInitial[:] # 初始化最優解，將當前解置為最優解
fxNow = fxInitial # 將初始解的目標函式置為當前值
fxBest = fxInitial # 將當前解的目標函式置為最優值
print('x_Initial:{:.6f},{:.6f},\tf(x_Initial):{:.6f}'.format(xInitial[0], xInitial[1], fxInitial))
recordIter = [] # 初始化，外迴圈次數
recordFxNow = [] # 初始化，當前解的目標函式值
recordFxBest = [] # 初始化，最佳解的目標函式值
recordPBad = [] # 初始化，劣質解的接受機率
kIter = 0 # 外迴圈迭代次數，溫度狀態數
totalMar = 0 # 總計 Markov 鏈長度
totalImprove = 0 # fxBest 改善次數
nMarkov = meanMarkov # 固定長度 Markov鏈
# ====== 開始模擬退火最佳化 ======
# 外迴圈，直到當前溫度達到終止溫度時結束
tNow = tInitial # 初始化當前溫度(current temperature)
while tNow >= tFinal: # 外迴圈，直到當前溫度達到終止溫度時結束
# 在當前溫度下，進行充分次數(nMarkov)的狀態轉移以達到熱平衡
kBetter = 0 # 獲得優質解的次數
kBadAccept = 0 # 接受劣質解的次數
kBadRefuse = 0 # 拒絕劣質解的次數
# ---內迴圈，迴圈次數為Markov鏈長度
for k in range(nMarkov): # 內迴圈，迴圈次數為Markov鏈長度
totalMar += 1 # 總 Markov鏈長度計數器
# ---產生新解
# 產生新解：透過在當前解附近隨機擾動而產生新解，新解必須在 [min,max] 範圍內
# 方案 1：只對 n元變數中的一個進行擾動，其它 n-1個變數保持不變
xNew[:] = xNow[:]
v = random.randint(0, nVar-1) # 產生 [0,nVar-1]之間的隨機數
xNew[v] = round(xNow[v] + scale * (xMax[v]-xMin[v]) * random.normalvariate(0, 1))
# 滿足決策變數為整數，採用最簡單的方案：產生的新解按照四捨五入取整
xNew[v] = max(min(xNew[v], xMax[v]), xMin[v]) # 保證新解在 [min,max] 範圍內
# ---計算目標函式和能量差
# 呼叫子函式 cal_Energy 計算新解的目標函式值
fxNew = cal_Energy(xNew, nVar, kIter)
deltaE = fxNew - fxNow
# ---按 Metropolis 準則接受新解
# 接受判別：按照 Metropolis 準則決定是否接受新解
if fxNew < fxNow: # 更優解：如果新解的目標函式好於當前解，則接受新解
accept = True
kBetter += 1
else: # 容忍解：如果新解的目標函式比當前解差，則以一定機率接受新解
pAccept = math.exp(-deltaE / tNow) # 計算容忍解的狀態遷移機率
if pAccept > random.random():
accept = True # 接受劣質解
kBadAccept += 1
else:
accept = False # 拒絕劣質解
kBadRefuse += 1
# 儲存新解
if accept == True: # 如果接受新解，則將新解儲存為當前解
xNow[:] = xNew[:]
fxNow = fxNew
if fxNew < fxBest: # 如果新解的目標函式好於最優解，則將新解儲存為最優解
fxBest = fxNew
xBest[:] = xNew[:]
totalImprove += 1
scale = scale*0.99 # 可變搜尋步長，逐步減小搜尋範圍，提高搜尋精度
# ---內迴圈結束後的資料整理
# 完成當前溫度的搜尋，儲存資料和輸出
pBadAccept = kBadAccept / (kBadAccept + kBadRefuse) # 劣質解的接受機率
recordIter.append(kIter) # 當前外迴圈次數
recordFxNow.append(round(fxNow, 4)) # 當前解的目標函式值
recordFxBest.append(round(fxBest, 4)) # 最佳解的目標函式值
recordPBad.append(round(pBadAccept, 4)) # 最佳解的目標函式值
if kIter%10 == 0: # 模運算，商的餘數
print('i:{},t(i):{:.2f}, badAccept:{:.6f}, f(x)_best:{:.6f}'.\
format(kIter, tNow, pBadAccept, fxBest))
# 緩慢降溫至新的溫度，降溫曲線：T(k)=alfa*T(k-1)
tNow = tNow * alfa
kIter = kIter + 1
fxBest = cal_Energy(xBest, nVar, kIter) # 由於迭代後懲罰因子增大，需隨之重構增廣目標函式
# ====== 結束模擬退火過程 ======
print('improve:{:d}'.format(totalImprove))
return kIter,xBest,fxBest,fxNow,recordIter,recordFxNow,recordFxBest,recordPBad
# 結果校驗與輸出
def ResultOutput(cName,nVar,xBest,fxBest,kIter,recordFxNow,recordFxBest,recordPBad,recordIter):
# ====== 最佳化結果校驗與輸出 ======
fxCheck = cal_Energy(xBest, nVar, kIter)
if abs(fxBest - fxCheck)>1e-3: # 檢驗目標函式
print("Error 2: Wrong total millage!")
return
else:
print("\nOptimization by simulated annealing algorithm:")
for i in range(nVar):
print('\tx[{}] = {:.1f}'.format(i,xBest[i]))
print('\n\tf(x) = {:.1f}'.format(cal_Energy(xBest,nVar,0)))
return
# 主程式
def main(): # YouCans, XUPT
# 引數設定，最佳化問題引數定義，模擬退火演算法引數設定
[cName, nVar, xMin, xMax, tInitial, tFinal, alfa, meanMarkov, scale] = ParameterSetting()
# print([nVar, xMin, xMax, tInitial, tFinal, alfa, meanMarkov, scale])
# 模擬退火演算法
[kIter,xBest,fxBest,fxNow,recordIter,recordFxNow,recordFxBest,recordPBad] = OptimizationSSA(nVar,xMin,xMax,tInitial,tFinal,alfa,meanMarkov,scale)
# print(kIter, fxNow, fxBest, pBadAccept)
# 結果校驗與輸出
ResultOutput(cName, nVar,xBest,fxBest,kIter,recordFxNow,recordFxBest,recordPBad,recordIter)
if __name__ == '__main__':
main()
輸出結果：
x_Initial:0.000000,4.000000, f(x_Initial):-36.000000
i:0,t(i):100.00, badAccept:0.925373, f(x)_best:-152.000000
i:10,t(i):81.71, badAccept:0.671053, f(x)_best:-98.000000
i:20,t(i):66.76, badAccept:0.722892, f(x)_best:-98.000000
i:30,t(i):54.55, badAccept:0.704225, f(x)_best:-98.000000
i:40,t(i):44.57, badAccept:0.542169, f(x)_best:-98.000000
i:50,t(i):36.42, badAccept:0.435294, f(x)_best:-98.000000
i:60,t(i):29.76, badAccept:0.359551, f(x)_best:-98.000000
i:70,t(i):24.31, badAccept:0.717647, f(x)_best:-98.000000
i:80,t(i):19.86, badAccept:0.388235, f(x)_best:-98.000000
i:90,t(i):16.23, badAccept:0.555556, f(x)_best:-98.000000
i:100,t(i):13.26, badAccept:0.482353, f(x)_best:-98.000000
i:110,t(i):10.84, badAccept:0.527473, f(x)_best:-98.000000
i:120,t(i):8.85, badAccept:0.164948, f(x)_best:-98.000000
i:130,t(i):7.23, badAccept:0.305263, f(x)_best:-98.000000
i:140,t(i):5.91, badAccept:0.120000, f(x)_best:-98.000000
i:150,t(i):4.83, badAccept:0.422680, f(x)_best:-98.000000
i:160,t(i):3.95, badAccept:0.111111, f(x)_best:-98.000000
i:170,t(i):3.22, badAccept:0.350000, f(x)_best:-98.000000
i:180,t(i):2.63, badAccept:0.280000, f(x)_best:-98.000000
i:190,t(i):2.15, badAccept:0.310000, f(x)_best:-98.000000
i:200,t(i):1.76, badAccept:0.390000, f(x)_best:-98.000000
i:210,t(i):1.44, badAccept:0.390000, f(x)_best:-98.000000
i:220,t(i):1.17, badAccept:0.380000, f(x)_best:-98.000000
improve:10
Optimization by simulated annealing algorithm:
x[0] = 8.0
x[1] = 2.0
f(x) = -98.0