透過向 chatGPT-4o-mini 提問，我注意到所有爬山法可以解決的問題模擬退火都可以解決，所以爬山法死了我不想學爬山法。
具體的，對於一個多峰函式求解最值的題目都可以用模擬退火來做。
如果現在在較優解 \(x\)，發現了一個新的解 \(x'\)，如果 \(x'\) 比 \(x\) 優那麼 \(x\gets x'\) 否則有一定機率接受 \(x'\)，這就是模擬退火的核心思想。
考慮 \(x'\) 沒有 \(x\) 優秀的機率是怎麼計算的：
令 \(\Delta x=x-x'\)，那麼我們就有 \(e^{\frac{\Delta x}{T}}\) 的機率更新 \(x\)，其中 \(T\) 是當前的溫度。在進行了一次操作之後就進行降溫操作，即 \(T\gets T\times 0.999\)。
下面的內容很重要！！！！！！
我們令新算出的結果為 \(f\)，原本的答案為 \(lst\)。
對於求解最小值的問題，取 \(\Delta=f-lst\)，那麼：
- 如果 \(\Delta<0\)，那麼就直接接受。
- 否則如果
exp(-del/t)>Rand()，那麼接受。
對於求解最小值的問題，一樣取 \(\Delta=f-lst\)，那麼：
- 如果 \(\Delta>0\)，那麼就直接接受。
- 否則如果
exp(del/t)>Rand()，那麼接受。
需要注意的是 exp(x)\(=e^x\)，其中 \(x\) 就是自然函式，其影像如下：
發現對於 \(x>0\) 的情況 epx(x) 始終大於 \(1\)，這個機率就是沒有意義的，所以 \(\Delta\) 的值一定是負數才有意義。
所以上面的公式在 epx 中是取 del 還是 -del 就十分好理解了，所以這並不需要死記硬背。
形象的，放一張從 OI-Wiki 偷的圖：
JSOI2004 平衡點 / 吊打XXX
練手題，但是題目太困難了，考慮給一個形式化題意：
找到一個 \((x,y)\) 使 \(\sum\limits_{i=1}^n dis((X_i,Y_i),(x,y))\times Weight_i\) 最小，輸出 \(x,y\)（可以是小數），其中 \(1\le n\le 1000\)。
就是模板，按照上面的思路寫就行了。
AHOI2014/JSOI2014 保齡球
考慮每一次隨機交換 \(x,y\) 的位置，跑模擬退火就行了。
JSOI2016 炸彈攻擊
直接隨機放炸彈的位置，因為函式長得奇醜無比所以要求擾動的範圍較大，生成的時候需要使用：
double xx=(rand()*2-RAND_MAX)*t+x;
而不是：
double xx=(2.0*rand()/RAND_MAX-1)*t+x;
HAOI2006 均分資料
考慮先隨機分組，然後模擬退火隨機改變一個元素的分組就行了。
JSOI2008 球形空間產生器
設一個變數 \(r\)，表示這個高維球體的半徑，由公式 \(r=\sqrt{\sum_{i=1}^n(a_i-b_i)^2}\) 可得 \(\sum_{i=1}^n(a_i-b_i)^2= r^2\)，其中 \(a_i\) 是高維球面上某一個點的座標，\(b_i\) 是球心的座標。
化簡得：
移項得：
其中 \(\sum_{i=1}^n{b_i}^2-r^2\) 與球面上的點無關，因此我們可以將其看做一個係數為 \(1\) 的變數，右邊是常量。