模擬退火學習筆記
前言
不知道為啥突然有閒情學這個...
模擬退火 (Simulated Annealing) , 簡稱 \(SA\) .
是一種基於隨機化的演算法，無門檻，主要是為了騙分...
不是正解！！！！
根據 爬山演算法 的過程，我們發現：對於一個當前最優解附近的非最優解，爬山演算法直接捨去了這個解。而很多情況下，我們需要去接受這個非最優解從而跳出這個區域性最優解，即為模擬退火演算法。
關於退火
什麼是退火?
退火是一種金屬熱處理工藝，指的是將金屬緩慢加熱到一定溫度，保持足夠時間，然後以適宜速度冷卻。目的是降低硬度，改善切削加工性；消除殘餘應力，穩定尺寸，減少變形與裂紋傾向；細化晶粒，調整組織，消除組織缺陷。準確的說，退火是一種對材料的熱處理工藝，包括金屬材料、非金屬材料。而且新材料的退火目的也與傳統金屬退火存在異同。
賀的百度百科
設 \(E| \{x_i\} |\) 表示某一物質體系在微觀狀態 \(\{x_i\}\) 下的內能，對於給定溫度 \(T\) , 若體系處於熱平衡態時， \(E |\{x_i\}|\) 服從 Boltzmann 分佈：
\[f = c(T) \times e ^ {- \frac{E|\{x_i\}|}{k \times T}} \]其中 \(k\) 為 Boltzmann 常數。
\(T\) 下降， \(E\) 隨之下降。只要溫度下降足夠慢，體系可以長久保持熱平衡態。
當我們退火時，剛開始的時候溫度高，分子運動劇烈，變化率較高；
然而對於溫度降下來之後，分子逐漸趨於穩定，於是分子變化比較小。
模擬退火，就是模擬的這個過程。
具體實現
當然，什麼都不能擺脫隨機化。
我們設初始溫度 \(T_0 > 1000\) , 降溫係數 \(\zeta = \{0.996 , 0.995 , \dots\}\) , 末尾溫度 \(T_k > 0\) , 在 \(10 ^ {-15}\) 左右 .
對於我們的新橫座標來說，顯然他要有區域性的特性，並隨時間的延長，溫度下降，轉移地方要更加穩定，就是離舊的橫座標近一點，因此在隨機時要有 \(T\) 這個自變數。
然而對於我們新的這個值 \(y\) , 舊的值為 \(x\) , \(\Delta = y - x\)
退火的過程、轉移的機率如下：
為什麼會存在第二種轉移呢？
是為了跳出區域性最優解，可能進入新的更優解的地方。
貼圖：
具體實現 [JSOI2004] 平衡點 / 吊打XXX
題目描述
如圖，有 \(n\) 個重物，每個重物系在一條足夠長的繩子上。
每條繩子自上而下穿過桌面上的洞，然後系在一起。圖中 \(x\) 處就是公共的繩結。假設繩子是完全彈性的（即不會造成能量損失），桌子足夠高（重物不會垂到地上），且忽略所有的摩擦，求繩結 \(x\) 最終平衡於何處。
注意：桌面上的洞都比繩結 \(x\) 小得多，所以即使某個重物特別重，繩結 \(x\) 也不可能穿過桌面上的洞掉下來，最多是卡在某個洞口處。
\(1\le n\le 1000\)
\(-10000\le x_i,y_i\le10000, 0<w_i\le1000\)】
題解
假設平衡點座標為 \((X , Y)\)
那麼對於一個重物(座標為 \(x_i , y_i\) )貢獻的重力勢能為：
\(E = \sqrt{(X - x_i) ^ 2 + (Y - y_i) ^ 2} \times w_i\)
我們是需要將所有的勢能和最小化即可。
注意因為我們為了讓答案儘可能的對， \(SA\) 過程要跑很多遍。
CODE
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std ;
#define int long long
const int N = 2e5 + 100 ;
inline int read() {
int x = 0 , f = 1 ;
char c = getchar() ;
while (c < '0' || c > '9') {
if (c == '-') f = -f ;
c = getchar() ;
}
while (c >= '0' && c <= '9') {
x = x * 10 + c - '0' ;
c = getchar() ;
}
return x * f ;
}
struct Physics {
int x , y , gravity ;
} a[N] ;
int n ; double first , second , ans = 1000000000 , averx , avery ;
void Energy(double x , double y , double & statics) {
statics = 0 ;
for (int i = 1 ; i <= n ; ++ i) {
statics += sqrt((x - a[i].x) * (x - a[i].x) + (y - a[i].y) * (y - a[i].y)) * a[i].gravity ;
}
}
void SA() {
double T = 3000 ;
double x = first , y = second , now , delta_E ;
while (T > 1e-16) {
x = first + (rand() * 2ll - RAND_MAX) * T ;
y = second + (rand() * 2ll - RAND_MAX) * T ;
Energy(x , y , now) ; delta_E = now - ans ;
if (delta_E < 0) {
ans = now , first = x , second = y ;
} else if (exp(- delta_E / T) * RAND_MAX > rand()) {
first = x , second = y ;
}
T *= 0.996 ;
}
}
inline void solve() {
SA() ; SA() ; SA() ; SA() ; SA() ;
SA() ; SA() ; SA() ; SA() ; SA() ;
SA() ; SA() ; SA() ; SA() ; SA() ;
SA() ; SA() ; SA() ; SA() ; SA() ;
SA() ; SA() ; SA() ; SA() ; SA() ;
}
double sumx , sumy ;
signed main() {
srand((unsigned long long)(new char)) ;
n = read() ;
for (int i = 1 ; i <= n ; ++ i) {
a[i] = {read() , read() , read()} ;
sumx += a[i].x ; sumy += a[i].y ;
}
averx = 1.0 * sumx / n ;
avery = 1.0 * sumy / n ;
Energy(averx , avery , ans) ;
first = averx , second = avery ;
solve() ;
printf("%.3lf %.3lf" , first , second) ;
}