運籌優化（六）--目標規劃定義及解法

1.目標規劃的提出

線性規劃的目標函式是單目標，但企業實際的經營管理中，需要完成多項指標，如企業計劃中就包括產量、質量、利潤、交貨期等多項指標組成一個指標體系，均要全面完成，但是，這些指標的度量單位不同，各個指標的重要程度也不同，線性規劃難以給出實際的答案，但是，在一定的約束條件下，多目標要求往往相互矛盾，造成無可行解域，提不出供決策參考的答案，從而失去實際決策價值。這些問題需用目標規劃來加以解決。

例1：某工廠生產A、B兩種產品，已知有關資料如表1示，試求獲利最大的方案。

表1

產品 資源	A	B	擁有量
原材料（Kg）	2	1	11
裝置（臺時）	1	2	10
利潤（元/件）	8	10

解：這是單目標的線性規劃問題，設產品A、B各生產x1、x2件，建模如下：

用圖解法，求得最優決策方案為：　　

現在，由於經營管理需要，又提出了四項要求：

（1）根據市場資訊，產品A的銷量有下降趨勢，故A產品的產量不大於B產品。

（2）超過計劃供應的原材料時，需用高價採購，故希望儘量不超過原材料的供應量。

（3）應儘可能充分利用裝置，但不希望加班。

（4）應可能達到並超過計劃利潤指標。

現在企業該如何決策？

這樣在考慮產品生產決策時，便為多目標決策問題。目標規劃方法是解決這類決策問題的方法之一。下面引入與建立目標規劃數學模型有關的概念。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

2.目標規劃的有關概念及模型

目標規劃是求一組變數的解，在滿足一組資源約束和目標約束條件下，實現管理目標與實際可達目標之間的偏差最小。在其數模中，引入以下概念：

（1）偏差變數di：表示實際值與目標值之間的差距。

di+ 正偏差，表示超過目標值的偏差絕對值。di－負偏差，表示未達目標值的偏差絕對值。
偏差變數之間的性質：

①當實際值確定只會大於目標值時，有：di+＞0，而di－＝0。

②當實際值確定只會小於目標值時，有：di－＞0，而di+＝0。

③實際值等於目標值時，有di+＝di－＝0

④任何一種情況下有：

（2）硬約束與軟約束

①　硬約束：指必須嚴格滿足的等式約束和不等式約束。這些約束是由客觀條件限定的，管理者無法控制，故不應考慮其偏差變數。

②　軟約束：實現起來可以有偏差（di）的管理目標約束。

例如：原目標函式：，現在提出利潤管理目標值56元，實現結果可能有正偏差di+，也可能有負偏差di－，於是構成軟約束方程： 。超利潤目標時，超額利潤為di+，達不到利潤目標時，欠額利潤為di－，恰好達到目標時，，di+＝di－＝0

（3）目標規劃的目標函式

目標規劃追求的是管理目標優化，即要求目標量滿足目標優化的需要，所以目標規劃的目標函式應表示為所有目標約束方程中偏差量的函式，這是目標規劃與單目標規劃的最明顯標誌。

對於例1中的第一個目標，x1≤x2目標約束一般寫成：

因為實際的產量x1可能大於x2，也可能小於x2，所以d1－，d1+出現一個，但管理目標要求因不能滿足x1≤x2，而出現的正偏差d1+越小越好（儘可能縮小偏差目標值），所以目標函式寫為：

第二個目標：儘可能充分利用裝置，但又不希望加班，目標約束寫成：

，這時的管理目標是都儘可能小，所以目標函式寫為：

對於利潤目標：，即允許超過目標，如果達不到目標值，希望負偏差越小越好。

（4）目標的優先等級和權係數

一個規劃問題有若干個目標，但決策者在要求達到這些目標時，是有主次和輕重緩急的不同，規定：PK＞＞PK＋1，即PK＋1目標等級低，如果PK與PK＋1級目標有矛盾時，應首先滿足PK級目標。

對於例1中的三個目標，如優先考慮x1≤x2，則對其目標函式賦予優先因子P1，在滿足第一級目標的前提下，才考慮第二級目標：充分利用裝置，最後才是利潤目標。

故目標函式寫成：

對於幾個具有相同優先等級的目標，也可賦予不同的權係數，表示其重要程度的不同。

故對於例1的目標規劃數模為：

　　綜合以上分析，我們可以寫出例1中的目標規劃數學模型。

 

3.目標規劃的圖解法

當決策變數只有2個時，用圖解法。

例1：某電視機廠裝配黑白和彩色兩種電視機，每裝配一臺電視機，需佔用裝配線1小時，裝配線每週計劃開動40小時。預計市場每週彩色電視機的銷量是24臺，每臺可獲利80元，黑白電視機的銷量是30臺，每臺可獲利40元。該廠的管理目標是：

第一優先順序：充分利用裝配線每週計劃開動40小時；

第二優先順序：允許裝配線加班；但加班時間每週儘量不超過10小時。

第三優先順序：裝配電視機的數量儘量滿足市場需要。因彩色電視機的利潤高，取其權係數為2。

試建立該問題的目標規劃模型。

解：設彩色和黑白電視機各生產x1、x2，則：

用圖解法求解時，先在平面直角座標系的第一象限內，作各約束條件。絕對約束條件的作用與線性規劃相同。作目標約束時，先令，＝０，作相應的直線，然後在這直線旁標上，的方向（正、負偏差區域）。如對於第二個目標：可以達不到50個小時，即d2－＞0，但若超過50小時，希望min d2+，即目標朝向d2－＞0移動較好。如圖1所示。

圖1　目標規劃的圖解法

圖中，在d3＋＞0的區域，d3－＝0的；同理，d3－＞0的區域，d3＋＝0。從圖中看到，考慮具有P1、P2級目標實現後，x1、x2的取值範圍為ABCD。考慮P3目標要求時，因的權係數大於，故先取=0；這時x1、x2的取值範圍為ABEF，在ABEF中，只有點E使d4－取值最小，但不能使d4－＝0，故E為滿意解。E點座標為 (24, 26)，即該廠每週應裝配彩色電視機24臺，黑白電視機26臺。

4.目標規劃的單純形法

目標規劃的數學模型結構與線性規劃的數學模型結構形式上沒有本質的區別 , 所以可用單純形法求解。但要考慮目標規劃的數學模型一些特點 , 作以下規定 :

(1)因目標規劃問題的目標函式都是求最小化,所以以cj -zj≥0,j=1,(2,⋯,n)為最優準則。

(2) 因非基變數的檢驗數中含有不同等級的優先因子,即cj -zj =∑αkjPk, j=1,2,⋯,n; k=1,2,⋯,K

因 P1 m P2 m ⋯m PK ; 從每個檢驗數的整體來看: 檢驗數的正、負首先決定於P1的係數 α1 j 的正、負。若 α1 j = 0, 這時此檢驗數的正、負就決定於 P2 的係數 α2 j 的正、負, 下面可依此類推。
解目標規劃問題的單純形法的計算步驟 :
(1) 建立初始單純形表,在表中將檢驗數行按優先因子個數分別列成 K行,置k=1。

(2) 檢查該行中是否存在負數, 且對應的前 k - 1 行的係數是零。若有負數取其中最小者對應的變數為換入變數,轉(3)。若無負數,則轉(5)。
(3) 按最小比值規則確定換出變數,當存在兩個和兩個以上相同的最小比值時,選取具有較高優先順序別的變數為換出變數。
(4) 按單純形法進行基變換運算,建立新的計算表,返回(2)。
(5) 當 k= K時,計算結束。表中的解即為滿意解。否則置 k= k+1,返回到(2)

 5.靈敏度分析

目標規劃的靈敏度分析方法與線性規劃相似 , 這裡除分析各項係數的變化外 , 還有優先因子的變化問題。