運籌優化（八）--圖與網路優化

關於圖的基本概念

圖論（一）--基礎概念

圖論（二）--各種圖介紹

圖論（三）--各種基礎圖演算法總結

關於樹的基本概念

1．樹的概念

一個無圈並且連通的無向圖稱為樹圖或簡稱為樹（Tree）。

圖1是一個連通圖，圖2中的兩個圖都是樹。

如在有線通訊網和交通網中，在保證節點連通的條件下，邊數最少（可以節省材料和投資）的線路圖必然是樹。

圖1

一些行政管理機構和軍隊的建制也常用樹來表示相互隸屬關係；圖書分類、會計科目、決策過程等等也都可以畫成樹圖。

部分樹：在一個連通圖中G中，取部分邊連線G的所有頂點組成的樹稱為部分樹。

如圖2中（a）、（b）都是圖1的部分樹。

2．樹圖的性質

樹中的邊稱為樹枝，次數為1的頂點稱為樹葉。樹圖具有以下性質：

（1）任何樹必有樹葉，即次數為1的節點。

（2）樹是無迴路的連通圖，因而樹中任意兩點之間有、且僅有一條鏈連線相通，任意去掉一條樹枝，該樹就被分割成兩互不連通的子圖。

（3）樹的任意兩個頂點之間新增一條邊（稱為連枝），就構成一個迴路。僅用一條連枝構成的迴路稱為單連枝迴路，也稱為基本回路。

（4）一個連通圖具有很多樹，這些樹都是原連通圖的部分圖，即包括了原連通圖的所有頂點。若原連通圖有N個頂點，M條邊，則樹枝數為（N-1），連枝數則為C=M -（N-1）=M-N+1，因為一條連枝構成一個基本回路，所以基本回路個數也就是C。

（5）連枝的集合是原連通圖相應的餘樹，或稱為補樹。餘樹可能是樹，也可能不是樹，甚至可能是非連通圖。

關於最短路徑問題

最短路徑問題在實際中有廣泛的應用，如管道鋪設、線路選擇等問題，還有些如裝置更新、投資等問題也可以用網路最短路徑演算法得到解決，而且解法簡單、有效。

賦權圖1中的邊有方向，表明路線只能沿著箭頭方向行走，權表示vi到vj的距離（費用或時間），假設要求從v1到v7修一條公路，如何選擇一條路線使距離最短?

從v1到v7的路線是很多的，如路線（v1，v2，v5， v4，v7），也可選擇路線（v1，v3，v6，v7）等等。不同的路線，總距離是不同的，如前一路線，總距離是7＋8＋1＋2＝18單位。而按後一路線，總距離是1＋3＋7＝11單位。實際上，從v1到v7的路線與有向圖中從v1到v7的路是一一對應的。現在的問題是，從v1到v7的眾多路線中，如何選一條最短的路。

最短路演算法的原理：若從起點v1到終點v7的最短路經過v3、v4，則從v1到終點v7的最短路是｛v1，v3，v4，v7｝，同時v1到點v3的最短路一定是｛v1，v3｝，而v1到v4的最短路是｛v1，v3,v4｝。即如果P是D中從vs到vj的最短路，vi是p中的一個點，那麼從vs到vj的路也必是從vs到vi的最短路。

關於網路流量問題

研究網路通過的流量也是生產和管理工作中常遇到的現實問題。例如：交通網路中車輛的最大通過能力；生產流水線上產品的最大加工能力；供水網路中通過的最大水流量；資訊網路中資訊的最大傳輸能力等等。這類網路的組成弧都具有確定的通過能力稱為弧的容量（capacity），記為cij；而實際通過弧的流量（flux），記為fij，因各弧容量的配置關係可能不協調，有些弧的流量常常達不到容量值。因此，研究實際能通過網路的最大流量問題，可以充分發揮網路的裝置能力，並且能明確為使最大流量增大應如何改造網路。

1．容量網路

在研究網路最大流問題時，首先應給出各弧的通過能力，各弧的權數表示弧的容量。容量是弧（i，j）在單位時間內的最大通過能力，流量則是弧（i，j）在單位時間內的實際通過量。標有弧容量cij的網路稱為容量網路，如圖1所示。

2．網路流

在容量網路中，實際通過各弧的流量集F={fij}稱為網路流，如圖1。由於各弧容量的配置可能不協調，實際通過各弧的流量fij不可能處處都達到容量值cij。

3．可行流

對於給定的容量網路，如果滿足下列容量約束和節點流量平衡條件，則該網路流稱為可行流。以圖1為例，這兩個條件可用以下公式來描述：

圖1容量網路

（1） 容量約束條件：0≤fij≤cij。 對圖1有：0≤f12≤70，0≤f13≤100，0≤f14≤90，0≤f26≤80，0≤f34≤40，0≤f35≤50，0≤f45≤40，0≤f46≤100，0≤f56≤90。

（2）節點流量平衡條件：每個節點的流入總量等於流出總量。v1： Q=f12+f13+f14，v2： f12=f26，v3：f13=f34+f35，v4：f14+f34=f45+f46，v5： f35+f45=f56，V6: f26+f46+f56=Q

可行流總是存在的，如零流{fij=0}就是一個可行流，即容量網路沒有給出流量fij時，就認為fij=0。

4．最大流：

容量網路的最大流就是使得從網路起點（或稱發點）到終點（或稱收點）的總流量Q達到最大的可行流F= {fij} 。

最大流問題用線性規劃模型表示如下：式中s為發點，t為收點。

一個可行流相當於線性規劃中的一個可行解，而尋求最大流就相當於求解這個線性規劃數模的最優解，不過，網路最大流問題採用網路模型方法求解比用線性規劃方法求解簡便、直觀。

5．增廣鏈 

圖2(a)給出了一個容量網路{cij, fij}，其中{fij}為可行流，並且

（1）正（前）向弧：與從起點→終點方向一致的弧。

（2）反（後）向弧：與從起點→終點方向相反的弧。

（3）增廣鏈定義：一條從起點到終點的鏈，且其正向弧必須是非飽和弧，反向弧必須是非零弧。即：正向飽和弧和反向零弧均不構成增廣鏈的弧。

正向非飽和弧充許增大流量，反向非零弧，允許減小流量（維持節點流量平衡）。

例如： 對圖2(a)的容量網路和給定的可行流，按上述定義尋找增廣鏈，可找到一條如圖2(b)的增廣鏈 L={v1,v3,v2,v4,v6}。其中：正向弧集 L＋＝{(v1,v3),(v2,v4),(v4,v6)}均為非飽和弧。反向弧集 L－＝{v2,v3}為非零弧。

在增廣鏈上存在增大輸送能力的潛力。如圖2(b)，對所有正向弧增加流量1個單位，對所有反向弧減少流量1個單位，也就是說，增廣鏈方向調整1個單位流量，其他弧上的流量不變，這時得到的新網路流仍是可行流，但總流量Q增加了1個單位。因此，可以利用增廣鏈來調整給定的當前可行流，以求得最大流。若當前可行流F不存在增廣鏈，那麼它就不能再調整增大，可斷定它就是最大流F*。另外，對圖2(a)還可找出其它增廣鏈，說明當網路流非最大時，往往存在多條增廣鏈。

（4）網路可行流為網路最大流的判別方法

檢查該網路可行流是否存在增廣鏈，若不存在，則當前可行流為最大流；否則，當前可行流為非最大流，總流量還可增大。

6．割集

割集就是研究網路流“瓶頸”的一種工具。

（1）割集的概念：連通圖的一個割集，是使圖分成兩個互不連通子圖的邊的最小集合，記為S={(vi,,vj)}。顯然，一個連通圖的割集不止一個，如圖3就作出了3個割集s1,s2,s3,。

    s1={(v1,v2),(v1,v3)},其容量為C1=3+5=8。

    s2={(v1,v2),(v3,v5)},其容量為C2=3+2=5, s2割了三條弧，但（v2,v3）不入割集，因為只要把與v1→v6同方向的弧(v1,v2),(v3,v5)割斷，由起點到終點的通路就斷了。

S3={(v2,v4),(v3,v5)}，其容量為C3=4+2=6。

一般地，割集記為,其中（始點在V1內，而終點在內），容量記為。

如圖1中構成割集S2的兩個點集，始點在V內，而終點在內的只有兩條弧{(v1,v2),(v3,v5)}。

結論：

（1）任一可行流的流量Q都不會超過任一割集的流量，即：Q≤。

（2）最小割集（最小割）：所有割集中容量最小的割集。最小割的容量記為。實際流F的流量Q（F）≤。

（3） 最大流——最小割定理：實際流F所能達到的最大流量Q(F*)等於最小割的容量。即：

最後，實際上，這裡應該有一步介紹網路計劃與網路計劃優化，但是，發現它講的就是專案管理中的進度管理工具，如關鍵路徑法，還有單代號，雙代號網路圖，時標網路圖等等，這也是圖網路技術對工程管理的貢獻，這裡就不再囉嗦了。