Python 實現 動態規劃 /斐波那契數列

jiuyang發表於2018-10-29
Python動態規劃

1、斐波那契數列

　　斐波那契數列（Fibonacci sequence），又稱黃金分割數列、因數學家列昂納多·斐波那契（Leonardoda Fibonacci）以兔子繁殖為例子而引入，故又稱為“兔子數列”，指的是這樣一個數列：1、1、2、3、5、8、13、21、34、……在數學上，斐波納契數列以如下被以遞推的方法定義：F(1)=1，F(2)=1, F(3)=2,F(n)=F(n-1)+F(n-2)（n>=4，n∈N*）在現代物理、準晶體結構、化學等領域，斐波納契數列都有直接的應用，為此，美國數學會從1963年起出版了以《斐波納契數列季刊》為名的一份數學雜誌，用於專門刊載這方面的研究成果。

　　（1）、遞迴演算法 （三點：  終止條件（邊界），最優子結構 F(1)=1，F(2)=1, F(3)=2,F(n)=F(n-1)+F(n-2)  狀態轉移公式  F(n)=F(n-1)+F(n-2)）

def fab(n):
    # 終止條件 邊界
    if n <= 2:
        return 1
    else:
        # 最優子結構 狀態轉移公式
        return fab(n - 1) + fab(n - 2)

　　（2）、優化  遞迴演算法 會重複計算多次同一個式子 如圖 相同的顏色代表了方法被傳入相同的引數。所以需要記錄下已經計算過得數，防止重複計算

# 記錄已經計算過得 值
dict_fab = {}


def fab_2(n):
    # 終止條件 邊界
    if n <= 2:
        return 1
    elif dict_fab.get(n):
        print('*')
        return dict_fab.get(n)
    else:
        # 最優子結構 狀態轉移公式
        dict_fab[n] = fab_2(n - 1) + fab_2(n - 2)
        return dict_fab[n]

　　（3）、動態規劃

# 最終優化 動態規劃  （大問題化成若干相同型別的子問題 然後一個個解決子問題）
def fab_3(n):
    # 由前往後推
    a = 1
    b = 1
    if n <= 2:
        print('fab({})={}'.format(n, b))
        return 1
    for i in range(n - 2):
        print(a, b)
        a, b = b, a + b
    print('fab({})={}'.format(n, b))
    return b

2、盛水問題 Python解法（題目連結 https://leetcode.com/problems/trapping-rain-water/description/ ）

　　（1）、暴力解法

　　

def trap(height):
    sum_water = 0
    size = len(height)
    for i in range(size):
        max_left = 0
        max_right = 0
        for j in range(0, i + 1):
            max_left = max(max_left, height[j])
        for j in range(i, size):
            max_right = max(max_right, height[j])
        sum_water += min(max_left, max_right) - height[i]
    return sum_water

　　（2）、動態規劃（記憶演算法，記錄i 位置的左右 最大數，減少for迴圈層級 時間複雜度 有o（n²）變為 o(n)）

def trap_water_dy():
    height = [0, 1, 0, 2, 1, 0, 1, 3, 2, 1, 2, 1]
    sum_water = 0
    size = len(height)
    max_left_lsit = [None]*size
    max_left_lsit[0] = height[0]
    max_right_list = [None]*size
    max_right_list[-1] = height[-1]

    for i in range(1, size):
        max_left_lsit[i] = max(height[i], max_left_lsit[i - 1])

    for i in range(size-1):
        max_right_list[size - 2 - i] = max(height[size - 2 - i], max_right_list[size - i - 1])

    for i in range(size):
        sum_water += min(max_left_lsit[i], max_right_list[i]) - height[i]
    return sum_water

      （3）、雙指標

def trap_two_point():
    height = [0, 1, 0, 2, 1, 0, 1, 3, 2, 1, 2, 1]
    left = 0
    right = len(height) - 1
    ans = 0
    left_max = 0
    right_max = 0
    while left < right:  # 迴圈陣列一遍
        if height[left] < height[right]:  # 當左邊的小於右邊的 能裝多少水 由左邊的最高高度決定
            if height[left] >= left_max:
                left_max = height[left]
            ans += (left_max - height[left])
            left += 1
        else:  # 當右邊小於左邊時 裝的水量由右邊的最高高度決定
            if height[right] >= right_max:
                right_max = height[right]
            ans += (right_max - height[right])
            right -= 1
    return ans

 

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