斐波那契數列

静雅斋数学發表於2024-11-20

前情概要

斐波那契數列又稱黃金分割數列，因數學家列昂納多·斐波那契（Leonardoda Fibonacci）以兔子繁殖為例子而引入，故又稱為“兔子數列”，指的是數列 $1$ , $1$ , $2$ , $3$ , $5$ , $8$ , $13$ , $\cdots$，在數學上，斐波納契數列以遞迴的方法定義 $a_1=1$，$a_2=1$，且滿足 $a_{n+1}$ $=$ $a_n$ $+$ $a_{n-1}$，$n$ $\geqslant$ $2$；^[1]

圖象繪製

通項公式

斐波那契數列 $\{a_n\}$ 的遞推關係式滿足條件：$a_n=\left\{\begin{array}{l}1,&n=1\\1,&n=2\\a_{n-1}+a_{n-2},&n\geq 3\end{array}\right.$，其通項公式如下：

\[a_n=\cfrac{1}{\sqrt{5}}\bigg[(\cfrac{1+\sqrt{5}}{2})^n-(\cfrac{1-\sqrt{5}}{2})^n\bigg] \]

詳細求解過程，請參閱斐波那契數列通項公式的求解

斐波那契數列與黃金分割比

直接給結論：斐波那契數列相鄰項比值的極限是 $0.618$，意思就是隨著斐波那契數列越來越大，相鄰兩項的比值越來越接近 $0.618$，證明也非常簡單，只要有大學高數的極限知識即可，

典例剖析

【與斐波那契數列有關的歸納推理】某種樹的分枝生長規律如圖所示，第1年到第5年的分枝數分別為$1$，$1$，$2$，$3$，$5$，則預計第10年樹的分枝數為【$\qquad$】

$A.21$ $B.34$ $C.52$ $D.55$

分析：本題目涉及到的數列為“斐波那契數列”，其構成規律為：$a_1=1$，$a_2=1$已知，其他項由遞推公式$a_{n+2}$$=$$a_{n+1}$$+$$a_n$，$n\in N^*$得到，

故$a_6=8$，$a_7=13$，$a_8=21$，$a_9=34$，$a_{10}=55$，$a_{11}=89$，故選$D$。

【2021$\cdot$上海模擬】著名的斐波那契數列 $\{a_{n}\}$: $1$，$1$，$2$，$3$，$5$，$8$， $\cdots$，滿足 $a_{1}$$=$$a_{2}$$=$$1$， $a_{n+2}$$=$$a_{n+1}$$+$$a_{n}$$(n\in {N}^{*})$，那麼 $1$$+$$a_{3}$$+$$a_{5}$$+$$a_{7}$$+$$a_{9}$$+$$\cdots$$+$$a_{2021}$ 是斐波那契數列中的第【$\quad$】項

$A.2020$ $B.2021$ $C.2022$ $D.2023$

解析：因為 $a_{1}$$=$$a_{2}$$=$$1$ ，所以

$1$$+$$a_{3}$$+$$a_{5}$$+$$a_{7}$$+$$a_{9}$$+$$\cdots$$+$$a_{2021}$

$=$$a_{2}$$+$$a_{3}$$+$$a_{5}$$+$$a_{7}$$+$$a_{9}$$+$$\cdots$$+$$a_{2021}$

$=$$a_{4}$$+$$a_{5}$$+$$a_{7}$$+$$a_{9}$$+$$\cdots$$+$$a_{2021}$

$=$$a_{6}$$+$$a_{7}$$+$$a_{9}$$+$$\cdots$$+$$a_{2021}$

$=$$\cdots$$+$$a_{2019}$$+$$a_{2021}$

$=$$a_{2020}$$+$$a_{2021}$$=$$a_{2022}$ ，故選 $C$ .