斐波那契數列演算法

簡介

斐波那契數列，又稱黃金分割數列，指的是這樣一個數列：0、1、1、2、3、5、8、13、21、34、……在數學上，斐波納契數列以如下被以遞迴的方法定義：F（0）=0，F（1）=1，F（n）=F(n-1)+F(n-2)（n≥2，n∈N*）在現代物理、準晶體結構、化學等領域，斐波納契數列都有直接的應用，為此，美國數學會從1963起出版了以《斐波納契數列季刊》為名的一份數學雜誌，用於專門刊載這方面的研究成果。

方法1，遞迴演算法

int result[3] = {0,1,1};
int Fibonacci1(unsigned n) {
    if (n<3) {
        return result[n];
    }
    return Fibonacci1(n-1) + Fibonacci1(n-2);
}

時間複雜度分析

我們以求解f(10)作為例子來分析遞迴求解的過程。要求得f(10)，需要求得f(9)和f(8)。同樣，要求得f(9)，要先求得f(8)和f(7)……我們用樹形結構來表示這種依賴關係

                  f(10)
               /        \
            f(9)         f(8)
          /     \       /    \
       f(8)     f(7)  f(7)   f(6)
      /   \     /   \ 
   f(7)  f(6)  f(6) f(5)

在這棵樹中有很多結點會重複的，而且重複的結點數會隨著n的增大而急劇增加。這意味這計算量會隨著n的增大而急劇增大。事實上，用遞迴方法計算的時間複雜度是以n的指數的方式遞增的，時間複雜度約等於O(2^n)

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空間複雜度分析

每一層運算所佔用的空間為1，一共要遞迴n-1次；也就是約等於n；空間複雜度為O(n)

方法二

在方法一的基礎上改進

其實改進的方法並不複雜。上述方法之所以慢是因為重複的計算太多，只要避免重複計算就行了。比如我們可以把已經得到的數列中間項儲存起來，如果下次需要計算的時候我們先查詢一下，如果前面已經計算過了就不用再次計算了。演算法步驟如下

定義三個個臨時變數 numberOne 、 numberTwo 和 numberThree
設定numberOne=0；numberTwo=1；

第一步 兩項相加等於第三項 numberThree = numberOne + numbertwo
第二步 把第二項賦值給第一項 numberOne = numbertwo
第三步 把第三項賦值給第二項 numbertwo = numberThree
第四步 回到第一步通過 numberThree = numberOne + numbertwo 推出第四項
依次從2遍歷到n得出結果

int result[2] = {0, 1};
int  Fibonacci2(int n) {

      if(n < 2)
            return result[n];

      int   numberOne, numbertwo,numberThree;
      numberOne = 0;
      numbertwo = 1;
      for(unsigned int i = 2; i <= n; ++ i) {
            numberThree = numberOne + numberTwo;
            numberOne = numberTwo;
            numberTwo = numberThree;
      }
      return numberThree;
}

時間複雜度

從下往上推，避免了重複節點的運算，這種思路的運算時間複雜度為O(n)

空間複雜度

一目瞭然，O(1) 約等於O(1)

方法三

這個是我目前見過最流弊的方式，但是前提你得先會用公式
時間複雜度是O(logn)，就問你流弊不流弊。在介紹這種方法之前，先介紹一個數學公式：

{f(n), f(n-1), f(n-1), f(n-2)} ={1, 1, 1,0}n-1

(注：{f(n+1), f(n), f(n), f(n-1)}表示一個矩陣。在矩陣中第一行第一列是f(n+1)，第一行第二列是f(n)，第二行第一列是f(n)，第二行第二列是f(n-1)。，如果還不懂的話，再去看一下線性代數)

有了這個公式，要求得f(n)，我們只需要求得矩陣{1, 1, 1,0}的n-1次方，因為矩陣{1, 1, 1,0}的n-1次方的結果的第一行第一列就是f(n)。這個數學公式用數學歸納法不難證明。感興趣的朋友不妨自己證明一下。
現在的問題轉換為求矩陣{1, 1, 1, 0}的乘方。如果簡單第從0開始迴圈，n次方將需要n次運算，並不比前面的方法要快。但我們可以考慮乘方的如下性質：

        /  an/2*an/2                      n為偶數時
an=
        \  a(n-1)/2*a(n-1)/2            n為奇數時

要求得n次方，我們先求得n/2次方，再把n/2的結果平方一下。如果把求n次方的問題看成一個大問題，把求n/2看成一個較小的問題。這種把大問題分解成一個或多個小問題的思路我們稱之為分治法。這樣求n次方就只需要logn次運算了。

實現這種方式時，首先需要定義一個2×2的矩陣，並且定義好矩陣的乘法以及乘方運算。當這些運算定義好了之後，剩下的事情就變得非常簡單。完整的實現程式碼如下所示。

///////////////////////////////////////////////////////////////////////
struct Matrix2By2
{
      Matrix2By2
      (
            long long m00 = 0, 
            long long m01 = 0, 
            long long m10 = 0, 
            long long m11 = 0
      )
      :m_00(m00), m_01(m01), m_10(m10), m_11(m11) 
      {
      }

      long long m_00;
      long long m_01;
      long long m_10;
      long long m_11;
};

///////////////////////////////////////////////////////////////////////
// Multiply two matrices
// Input: matrix1 - the first matrix
//        matrix2 - the second matrix
//Output: the production of two matrices
///////////////////////////////////////////////////////////////////////
Matrix2By2 MatrixMultiply
(
      const Matrix2By2& matrix1, 
      const Matrix2By2& matrix2
)
{
      return Matrix2By2(
            matrix1.m_00 * matrix2.m_00 + matrix1.m_01 * matrix2.m_10,
            matrix1.m_00 * matrix2.m_01 + matrix1.m_01 * matrix2.m_11,
            matrix1.m_10 * matrix2.m_00 + matrix1.m_11 * matrix2.m_10,
            matrix1.m_10 * matrix2.m_01 + matrix1.m_11 * matrix2.m_11);
}

///////////////////////////////////////////////////////////////////////
// The nth power of matrix 
// 1  1
// 1  0
///////////////////////////////////////////////////////////////////////
Matrix2By2 MatrixPower(unsigned int n)
{
      assert(n > 0);

      Matrix2By2 matrix;
      if(n == 1)
      {
            matrix = Matrix2By2(1, 1, 1, 0);
      }
      else if(n % 2 == 0)
      {
            matrix = MatrixPower(n / 2);
            matrix = MatrixMultiply(matrix, matrix);
      }
      else if(n % 2 == 1)
      {
            matrix = MatrixPower((n - 1) / 2);
            matrix = MatrixMultiply(matrix, matrix);
            matrix = MatrixMultiply(matrix, Matrix2By2(1, 1, 1, 0));
      }

      return matrix;
}

///////////////////////////////////////////////////////////////////////
// Calculate the nth item of Fibonacci Series using devide and conquer
///////////////////////////////////////////////////////////////////////
long long Fibonacci_Solution3(unsigned int n)
{
      int result[2] = {0, 1};
      if(n < 2)
            return result[n];

      Matrix2By2 PowerNMinus2 = MatrixPower(n - 1);
      return PowerNMinus2.m_00;
}