樹鏈剖分用於將樹分割成若干條鏈的形式，以維護樹上路徑的資訊。
具體來說，將整棵樹剖分為若干條鏈，使它組合成線性結構，然後用其他的資料結構維護資訊。
樹鏈剖分有很多種形式，本文要講的是其中的輕重鏈剖分。
樹鏈剖分本質上就是把鏈從樹上砍下來，然後放到樹狀陣列或線段樹上來維護。
輕重鏈剖分
我們給出一些定義：
定義 重子節點 表示其子節點中 子樹最大 的子結點。如果有多個子樹最大的子結點，取其一。如果沒有子節點，就無重子節點。
定義 輕子節點 表示剩餘的所有子結點。
從這個結點到重子節點的邊為 重邊。
到其他輕子節點的邊為 輕邊。
若干條首尾銜接的重邊構成 重鏈。
把落單的結點也當作重鏈，那麼整棵樹就被剖分成若干條重鏈。
如圖:
圖片來自 \(\texttt{OI-Wiki}\)。
實現
要進行樹鏈剖分，得先有一棵樹，透過一個 dfs 來得到所有的子樹大小、重兒子以及每個結點的深度。
void dfs(int u, int fat) {
siz[u] = 1;
fa[u] = fat;
dep[u] = dep[fat] + 1;
for (int v : e[u]) {
if (v == fat) continue ;
dfs(v, u);
siz[u] += siz[v];
if (siz[v] > siz[son[u]]) {
son[u] = v;
}
}
}
得到這些資訊後，我們就要把樹分成好多的鏈，透過另一個 dfs 來確定好鏈頂，有時我們要用線段樹或樹狀陣列來維護這些鏈，所以可能還要維護線上段樹上的位置（dfs 序）等資訊。
void getpos(int u, int top) {
dfn[u] = ++ tim; // 線上段樹上的位置 （dfs 序）
pos[tim] = u; // 線段樹這個位置所代表的節點
tp[u] = top; // 鏈頂
if (!son[u]) return ;
getpos(son[u], top); // 優先跑重兒子
for (int v : e[u]) {
if (v == fa[u] || v == son[u]) continue ;
getpos(v, v); // 輕兒子再單獨分鏈
}
}
到這裡，處理部分就完成了，接下來就是根據題目來對這些鏈進行處理了，可以使用線段樹、樹狀陣列等資料結構來維護鏈的資訊，也可以利用跳鏈頂的優秀複雜度求 LCA 等。
例題
P3384 【模板】重鏈剖分/樹鏈剖分 - 洛谷 | 電腦科學教育新生態 (luogu.com.cn)
模板題。
要求我們對鏈上節點的權值進行修改、求和，以及對子樹內的所有節點進行修改、求和，我們使用線段樹來進行維護。
對於鏈上的操作，由於我們已經把鏈都擺在了線段樹上，所以只需要對線段樹進行區間操作即可。對於子樹的操作，根據 dfs 序的性質，一棵子樹在 dfs 序上的範圍是 \([dfn_{rt}, dfn_{rt} + siz_{rt} - 1]\)，對這個區間進行區間操作即可。
void Modify(int x, int y, ll z) {
while (tp[x] != tp[y]) {
if (dep[tp[x]] < dep[tp[y]]) {
swap(x, y);
}
modify(1, 1, n, dfn[tp[x]], dfn[x], z);
x = fa[tp[x]];
}
if (dep[x] > dep[y]) {
swap(x, y);
}
modify(1, 1, n, dfn[x], dfn[y], z);
return ;
}
ll Query(int x, int y) {
ll ans = 0;
while (tp[x] != tp[y]) {
if (dep[tp[x]] < dep[tp[y]]) {
swap(x, y);
}
ans = (ans + query(1, 1, n, dfn[tp[x]], dfn[x])) % mod;
x = fa[tp[x]];
}
if (dep[x] > dep[y]) {
swap(x, y);
}
ans = (ans + query(1, 1, n, dfn[x], dfn[y])) % mod;
return ans;
}
這兩段程式碼就是跳鏈的過程，可以這樣理解一下，如果兩個節點的鏈頂不相同，說明他們不在同一條鏈中，我們讓鏈頂深度大的節點向上跳（這樣可以防止跳過頭），在跳之前，先對這段鏈的資訊進行修改維護，也就是 Modify 中的 modify 函式和 Query 中的 query 函式，然後，跳到這個鏈頂的父親，離開這條鏈，以此繼續，直到這兩個節點鏈頂一樣時（即在同一條鏈上時），對這兩個節點之間的鏈進行操作，退出函式。
// The code was written by yifan, and yifan is neutral!!!
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
#define bug puts("NOIP rp ++!");
#define rep(i, a, b, c) for (int i = (a); i <= (b); i += (c))
#define per(i, a, b, c) for (int i = (a); i >= (b); i -= (c))
#define Mod(x) ((x) >= mod ? (x) %= mod : (x))
template<typename T>
inline T read() {
T x = 0;
bool fg = 0;
char ch = getchar();
while (ch < '0' || ch > '9') {
fg |= (ch == '-');
ch = getchar();
}
while (ch >= '0' && ch <= '9') {
x = (x << 3) + (x << 1) + (ch ^ 48);
ch = getchar();
}
return fg ? ~x + 1 : x;
}
const int N = 1e5 + 5;
int n, m, rt, mod, tim;
int val[N], siz[N], son[N], fa[N];
int dfn[N], pos[N], tp[N], dep[N];
vector<int> e[N];
struct seg {
int len;
ll val, tag;
} t[N << 2];
void dfs(int u, int fat) {
siz[u] = 1;
fa[u] = fat;
dep[u] = dep[fat] + 1;
for (int v : e[u]) {
if (v == fat) continue ;
dfs(v, u);
siz[u] += siz[v];
if (siz[v] > siz[son[u]]) {
son[u] = v;
}
}
}
void getpos(int u, int top) {
dfn[u] = ++ tim;
pos[tim] = u;
tp[u] = top;
if (!son[u]) return ;
getpos(son[u], top);
for (int v : e[u]) {
if (v == fa[u] || v == son[u]) continue ;
getpos(v, v);
}
}
#define ls (u << 1)
#define rs (u << 1 | 1)
#define mid ((l + r) >> 1)
void pushup(int u) {
t[u].val = (t[ls].val + t[rs].val) % mod;
}
void pushdown(int u, int l, int r) {
if (!t[u].tag) return ;
if (l == r) {
t[u].tag = 0;
return ;
}
t[ls].tag = (t[ls].tag + t[u].tag) % mod;
t[ls].val = (t[ls].val + t[u].tag * t[ls].len % mod) % mod;
t[rs].tag = (t[rs].tag + t[u].tag) % mod;
t[rs].val = (t[rs].val + t[u].tag * t[rs].len % mod) % mod;
t[u].tag = 0;
return ;
}
void build(int u, int l, int r) {
t[u].tag = 0;
t[u].len = r - l + 1;
if (l == r) {
t[u].val = val[pos[l]];
return ;
}
build(ls, l, mid);
build(rs, mid + 1, r);
pushup(u);
}
void modify(int u, int l, int r, int lr, int rr, ll v) {
if (lr <= l && r <= rr) {
t[u].tag = (t[u].tag + v) % mod;
t[u].val = (t[u].val + (t[u].len * v) % mod) % mod;
return ;
}
pushdown(u, l, r);
if (lr <= mid) {
modify(ls, l, mid, lr, rr, v);
}
if (rr > mid) {
modify(rs, mid + 1, r, lr, rr, v);
}
pushup(u);
}
void Modify(int x, int y, ll z) {
while (tp[x] != tp[y]) {
if (dep[tp[x]] < dep[tp[y]]) {
swap(x, y);
}
modify(1, 1, n, dfn[tp[x]], dfn[x], z);
x = fa[tp[x]];
}
if (dep[x] > dep[y]) {
swap(x, y);
}
modify(1, 1, n, dfn[x], dfn[y], z);
return ;
}
ll query(int u, int l, int r, int lr, int rr) {
if (lr <= l && r <= rr) {
return t[u].val;
}
pushdown(u, l, r);
ll ans = 0;
if (lr <= mid) {
ans = (ans + query(ls, l, mid, lr, rr)) % mod;
}
if (rr > mid) {
ans = (ans + query(rs, mid + 1, r, lr, rr)) % mod;
}
return ans;
}
ll Query(int x, int y) {
ll ans = 0;
while (tp[x] != tp[y]) {
if (dep[tp[x]] < dep[tp[y]]) {
swap(x, y);
}
ans = (ans + query(1, 1, n, dfn[tp[x]], dfn[x])) % mod;
x = fa[tp[x]];
}
if (dep[x] > dep[y]) {
swap(x, y);
}
ans = (ans + query(1, 1, n, dfn[x], dfn[y])) % mod;
return ans;
}
#undef ls
#undef rs
#undef mid
int main() {
n = read<int>(), m = read<int>();
rt = read<int>(), mod = read<int>();
rep (i, 1, n, 1) {
val[i] = read<int>();
}
int x, y;
rep (i, 1, n - 1, 1) {
x = read<int>(), y = read<int>();
e[x].emplace_back(y);
e[y].emplace_back(x);
}
dfs(rt, 0);
getpos(rt, rt);
build(1, 1, n);
int op, z;
rep (i, 1, m, 1) {
op = read<int>(), x = read<int>();
if (op == 1) {
y = read<int>(), z = read<ll>();
Modify(x, y, z);
}
if (op == 2) {
y = read<int>();
cout << Query(x, y) % mod << '\n';
}
if (op == 3) {
z = read<ll>();
modify(1, 1, n, dfn[x], dfn[x] + siz[x] - 1, z);
}
if (op == 4) {
cout << query(1, 1, n, dfn[x], dfn[x] + siz[x] - 1) % mod << '\n';
}
}
return 0;
}
P4211 [LNOI2014] LCA - 洛谷 | 電腦科學教育新生態 (luogu.com.cn)
詢問 LCA 的深度，其實就是在樹上差分中，一個節點權值 \(+ 1\)，另一個點求該節點到根節點的路徑和。在樹鏈剖分中，就是將根節點到一個節點這條鏈上所有的點 \(+ 1\)，另一個節點求該節點到根節點的路徑的權值和。
可以經詢問進行離線處理，離線來完成這道題，具體看程式碼。
//The code was written by yifan, and yifan is neutral!!!
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
#define bug puts("NOIP rp ++!");
#define lowbit(x) (x & (-x))
#define ls (u << 1)
#define rs (u << 1 | 1)
#define mid ((l + r) >> 1)
template<typename T>
inline T read() {
T x = 0;
bool fg = 0;
char ch = getchar();
while (ch < '0' || ch > '9') {
fg |= (ch == '-');
ch = getchar();
}
while (ch >= '0' && ch <= '9') {
x = (x << 3) + (x << 1) + (ch ^ 48);
ch = getchar();
}
return fg ? ~x + 1 : x;
}
const int N = 5e4 + 5;
const int mod = 201314;
int n, m;
int fa[N], dep[N], siz[N], son[N], tp[N], pos[N];
int dfn[N];
vector<int> e[N];
struct ask {
int be, R, z;
bool fg;
int operator < (const ask& b) const {
return R < b.R;
}
} xunwen[N << 1];
struct seg {
int val, tag;
seg operator + (const seg& b) {
seg& a = *this, res;
res.val = (a.val + b.val) % mod;
return res;
}
} t[N << 2];
struct ANS {
ll ans1, ans2;
} ans[N << 1];
void dfs(int u) {
siz[u] = 1;
dep[u] = dep[fa[u]] + 1;
for (int v : e[u]) {
if (v == fa[u]) continue ;
dfs(v);
siz[u] += siz[v];
if (siz[v] > siz[son[u]]) {
son[u] = v;
}
}
}
void gettop(int u, int Top) {
static int t = 0;
tp[u] = Top;
dfn[u] = ++ t;
pos[t] = u;
if (!son[u]) return ;
gettop(son[u], Top);
for (int v : e[u]) {
if (v == fa[u] || v == son[u]) continue ;
gettop(v, v);
}
}
void color(int u, int l, int r, int co) {
t[u].val = (t[u].val + (r - l + 1) * co) % mod;
if (l < r) {
t[u].tag = (t[u].tag + co) % mod;
}
}
void pushdown(int u, int l, int r) {
if (t[u].tag && l < r) {
color(ls, l, mid, t[u].tag);
color(rs, mid + 1, r, t[u].tag);
}
t[u].tag = 0;
}
void modify(int u, int l, int r, int lr, int rr) {
if (lr <= l && r <= rr) {
color(u, l, r, 1);
return ;
}
pushdown(u, l, r);
if (lr <= mid) {
modify(ls, l, mid, lr, rr);
}
if (rr > mid) {
modify(rs, mid + 1, r, lr, rr);
}
t[u] = t[ls] + t[rs];
}
void Modify(int x, int y) {
while (tp[x] != tp[y]) {
if (dep[tp[x]] < dep[tp[y]]) {
swap(x, y);
}
modify(1, 1, n, dfn[tp[x]], dfn[x]);
x = fa[tp[x]];
}
if (dep[x] > dep[y]) {
swap(x, y);
}
modify(1, 1, n, dfn[x], dfn[y]);
}
ll query(int u, int l, int r, int lr, int rr) {
if (lr <= l && r <= rr) {
return t[u].val;
}
pushdown(u, l, r);
ll ans = 0;
if (lr <= mid) {
ans += query(ls, l, mid, lr, rr);
}
if (rr > mid) {
ans += query(rs, mid + 1, r, lr, rr);
}
return ans % mod;
}
ll Query(int x, int y) {
ll ans = 0;
while (tp[x] != tp[y]) {
if (dep[tp[x]] < dep[tp[y]]) {
swap(x, y);
}
ans += query(1, 1, n, dfn[tp[x]], dfn[x]);
x = fa[tp[x]];
}
if (dep[x] > dep[y]) {
swap(x, y);
}
ans += query(1, 1, n, dfn[x], dfn[y]);
return ans % mod;
}
int main() {
n = read<int>(), m = read<int>();
for (int i = 2; i <= n; ++ i) {
fa[i] = read<int>() + 1;
e[fa[i]].emplace_back(i);
e[i].emplace_back(fa[i]);
}
for (int i = 1; i <= m; ++ i) {
int l = read<int>(), r = read<int>() + 1, z = read<int>() + 1;
xunwen[i] = ask{i, l, z, 0};
xunwen[i + m] = ask{i, r, z, 1};
}
dep[1] = 1;
dfs(1);
gettop(1, 1);
m <<= 1;
sort(xunwen + 1, xunwen + m + 1, [](ask& a, ask& b) {
return a.R < b.R;
});
int now = 0;
for (int i = 1; i <= m; ++ i) {
while (now < xunwen[i].R) {
Modify(1, ++ now);
}
int j = xunwen[i].be;
if (xunwen[i].fg) {
ans[j].ans1 = Query(1, xunwen[i].z);
} else {
ans[j].ans2 = Query(1, xunwen[i].z);
}
}
m >>= 1;
for (int i = 1; i <= m; ++ i) {
printf("%lld\n", (ans[i].ans1 - ans[i].ans2 + mod) % mod);
}
return 0;
}
P4216 [SCOI2015] 情報傳遞 - 洛谷 | 電腦科學教育新生態 (luogu.com.cn)
這個題就是樹鏈剖分與樹狀陣列的搭配，由於風險值會隨著時間變化，風險值有一個限度，我們可以利用當前時間減去風險值來得到一個時間節點，在這個時間節點之前開始蒐集情報的人就會產生威脅。
由於只是對一條鏈產生威脅，所以可以使用差分，用樹狀陣列來維護。
//The code was written by yifan, and yifan is neutral!!!
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
#define bug puts("NOIP rp ++!");
#define lowbit(x) (x & (-x))
template<typename T>
inline T read() {
T x = 0;
bool fg = 0;
char ch = getchar();
while (ch < '0' || ch > '9') {
fg |= (ch == '-');
ch = getchar();
}
while (ch >= '0' && ch <= '9') {
x = (x << 3) + (x << 1) + (ch ^ 48);
ch = getchar();
}
return fg ? ~x + 1 : x;
}
const int N = 2e5 + 5;
int n, q, rt, tot;
int fa[N], dep[N], siz[N], son[N], tp[N];
int opt[N], X[N], Y[N], L[N], R[N];
ll t[N], ans[N];
vector<int> e[N], tim[N];
void dfs(int u) {
L[u] = ++ tot;
dep[u] = dep[fa[u]] + 1;
siz[u] = 1;
for (int &v : e[u]) {
dfs(v);
siz[u] += siz[v];
if (siz[v] > siz[son[u]]) {
son[u] = v;
}
}
R[u] = tot;
}
void gettop(int u, int Top) {
tp[u] = Top;
if (!son[u]) return ;
gettop(son[u], Top);
for (int v : e[u]) {
if (v == son[u]) continue ;
gettop(v, v);
}
}
int Lca(int x, int y) {
while (tp[x] ^ tp[y]) {
if (dep[tp[x]] < dep[tp[y]]) {
swap(x, y);
}
x = fa[tp[x]];
}
if (dep[x] > dep[y]) {
swap(x, y);
}
return x;
}
void modify(int x, int v) {
while (x <= n) {
t[x] += v;
x += lowbit(x);
}
}
ll query(int x) {
ll ans = 0;
while (x) {
ans += t[x];
x -= lowbit(x);
}
return ans;
}
ll Query(int x, int y) {
int lca = Lca(x, y);
return query(L[x]) + query(L[y]) - query(L[lca]) - query(L[fa[lca]]);
}
int dis(int x, int y) {
int lca = Lca(x, y);
return dep[x] + dep[y] - 2 * dep[lca] + 1;
}
int main() {
n = read<int>();
for (int i = 1; i <= n; ++ i) {
fa[i] = read<int>();
e[fa[i]].emplace_back(i);
}
for (rt = 1; fa[rt]; rt = fa[rt]);
dfs(rt);
gettop(rt, rt);
q = read<int>();
for (int i = 1; i <= q; ++ i) {
opt[i] = read<int>();
if (opt[i] == 1) {
X[i] = read<int>(), Y[i] = read<int>();
int c = read<int>();
if (c < i) {
tim[i - c - 1].emplace_back(i);
}
} else {
X[i] = read<int>();
}
}
for (int i = 1; i <= q; ++ i) {
if (opt[i] == 2) {
modify(L[X[i]], 1);
modify(R[X[i]] + 1, -1);
}
for (int &j : tim[i]) {
ans[j] = Query(X[j], Y[j]);
}
if (opt[i] == 1) {
printf("%d %lld\n", dis(X[i], Y[i]), ans[i]);
}
}
return 0;
}