伸展樹（Splay）學習筆記

quanjun發表於2020-08-08

二叉排序樹能夠支援多種動態集合操作，它可以被用來表示有序集合，建立索引或優先佇列等。因此，在資訊學競賽中，二叉排序樹應用非常廣泛。

作用於二叉排序樹上的基本操作，其時間複雜度均與樹的高度成正比，對於一棵有 \(n\) 個節點的二叉樹，這些操作在最有情況下執行時間為 \(O( \log_2 n)\)。

但是，如果二叉樹退化成了一條 \(n\) 個節點組成的線性連結串列，則這些操作在最壞情況下的執行時間為 \(O(n)\)。

有些二叉排序樹的變形，其基本操作的效能在最壞情況下依然很好，如平衡樹（AVL）等。但是，它們需要額外的空間來儲存平衡資訊，且實現起來比較複雜。同時，如果訪問模式不均勻，平衡樹的效率就會受到影響，而伸展樹卻可以克服這些問題。

伸展樹（Splay Tree），是對二叉排序樹的一種改進。雖然它並不能保證樹一直是“平衡”的，但對於它的一系列操作，可以證明其每一步操作的“平攤時間”複雜度都是 \(O(\log_2 n)\) 。平攤時間是指在一系列最壞情況的操作序列中單次操作的平均時間。所以，從某種意義上來說，伸展樹也是一種平衡的二叉排序樹。而在各種樹形資料結構中，伸展樹的空間複雜度（不需要記錄用於平衡的冗餘資訊）和程式設計複雜度也都是很優秀的。

獲得較好平攤效率的一種方法就是使用“自調整”的資料結構，與平衡結構或有明確限制的資料結構相比，自調整的資料結構有一下幾個優點：

從平攤角度上，它們忽略常數因子，因此絕對不會差於有明確限制的資料結構，而且它們可以根據具體使用情況進行調整，所以在使用模式不均勻的情況下更加有效；
由於無需儲存平衡資訊或者其他限制資訊，所以所需的儲存空間更小；
它們的查詢和更新的演算法與操作都很簡單，易於實現。

當然，自調整的資料結構也有其潛在的缺點：

它們需要更多的區域性調整，尤其在查詢期間，而那些有明確限制的資料結構僅需要在更新期間進行調整，查詢期間則不需要；
一系列查詢操作中的某一個可能會耗時較長，這在實時處理的應用程式中可能是一個不足之處。

1. 伸展樹的主要操作

伸展樹是對二叉排序樹的一種改進。與二叉排序樹一樣，伸展樹也具有有序性，即伸展樹中的每一個節點 \(x\) 都滿足：該節點左子樹中的每一個元素都小於 \(x\)，而其右子樹中的每一個元素都大於 \(x\)。

但是，與普通二叉排序樹不同的是，伸展樹可以“自我調整”，這就要依靠伸展樹的核心操作 —— \(\text{Splay(x, S)}\)。

1.1 伸展操作

伸展操作 \(\text{Splay(x, S)}\) 是在保持伸展樹有序的前提下，通過一系列旋轉，將伸展樹 \(\text{S}\) 中的元素 \(\text{x}\) 調整至數的根部。在調整的過程中，要分以下三種情況分別處理。

情況一：節點 \(\text{x}\) 的父節點 \(\text{y}\) 是根節點。

此時，

若 \(\text{x}\) 是 \(\text{y}\) 的左兒子，則我們進行一次右旋操作 \(\text{Zig(x)}\)；
若 \(\text{x}\) 是 \(\text{y}\) 的右兒子，則我們進行一次左旋操作 \(\text{Zag(x)}\)。

經過旋轉，使 \(\text{x}\) 成為二叉排序樹 \(S\) 的根節點，且依然滿足二叉排序樹的性質。

\(\text{Zig}\) 操作和 \(\text{Zag}\) 操作如圖所示：

情況二：節點 \(\text{x}\) 的父節點 \(\text{y}\) 不是根節點，且 \(\text{x}\) 和 \(\text{y}\) 同為各自父節點的左兒子，或同為各自父節點的右兒子。

此時，我們設 \(\text{z}\) 為 \(\text{y}\) 的父節點，

若 \(\text{x}\) 和 \(\text{y}\) 同時是各自父節點的左兒子，則進行一次 \(\text{Zig-Zig}\) 操作；
若 \(\text{x}\) 和 \(\text{y}\) 同時是各自父節點的右兒子，則進行一次 \(\text{Zag-Zag}\) 操作。

如圖所示：

情況三：節點 \(\text{x}\) 的父節點 \(\text{y}\) 不是根節點，且 \(\text{x}\) 和 \(\text{y}\) 中的一個是其父節點的左兒子，另一個是其父節點的右兒子。

此時，我們設 \(\text{z}\) 為 \(\text{y}\) 的父節點，

若 \(\text{x}\) 是 \(\text{y}\) 的左兒子，\(\text{y}\) 是 \(\text{z}\) 的右兒子，則進行一次 \(\text{Zig-Zag}\) 操作；
若 \(\text{x}\) 是 \(\text{y}\) 的右兒子，\(\text{y}\) 是 \(\text{z}\) 的左二子，則進行一次 \(\text{Zag-Zig}\) 操作。

下面舉一個例子來體會上面的伸展操作。

如下圖所示，最左邊的一個單鏈先執行 \(\text{Splay(1, S)}\)，我們將元素 \(1\) 調整到了伸展樹的根部。

執行幾次 \(\text{Splay(1, S)}\) 的效果

然後再執行 \(\text{Splay(2, S)}\)，將元素 \(2\) 調整到伸展樹 \(\text{S}\) 的根部。如下圖所示：

執行幾次 \(\text{Splay(2, S)}\) 的效果

1.2 伸展樹的基本操作

利用伸展樹 Splay ，我們可以在伸展樹 \(S\) 上進行如下幾種基本操作。

（1） \(\text{Find(x, S)}\)：判斷元素 \(\text{x}\) 是否在伸展樹 \(\text{S}\) 表示的有序集中。

首先，與在二叉排序樹中進行查詢操作操作一樣，在伸展樹中查詢元素 \(\text{x}\)。如果 \(\text{x}\) 在樹中，則再執行 \(\text{Splay(x, S)}\) 調整伸展樹。

（2） \(\text{Insert(x, S)}\)：將元素 \(\text{x}\) 插入到伸展樹 \(S\) 表示的有序集中。

首先，與在二叉排序樹中進行插入操作一樣，將 \(\text{x}\) 插入到伸展樹 \(\text{S}\) 中的相應位置，再執行 \(\text{Splay(x, S)}\) 調整伸展樹。

（3） \(\text{Join(S1, S2)}\)：將兩棵伸展樹 \(\text{S1}\) 與 \(\text{S2}\) 合併成為一棵伸展樹。其中，\(S1\) 的所有元素都小於 \(S2\) 的所有元素。

首先，找到伸展樹 \(S1\) 中最大的一個元素 \(\text{x}\)，再通過 \(\text{Splay(x, S1)}\) 將 \(\text{x}\) 調整到伸展樹 \(S1\) 的根部。然後將 \(S2\) 作為 \(\text{x}\) 節點的右子樹插入，這樣就得到了新的伸展樹 \(S\)，如圖所示：

\(\text{Join(S1, S2)}\) 的兩個步驟

（4）\(\text{Delete(x, S)}\)：將元素 \(x\) 從伸展樹 \(S\) 所表示的有序集中刪除。

首先，執行 \(\text{Find(x, S)}\) 將 \(\text{x}\) 調整為根節點，然後再對左右子樹執行 \(\text{Join(S1, S2)}\) 操作即可。

（5）\(\text{Split(x, S)}\)：以 \(x\) 為界，將伸展樹 \(S\) 分離為兩棵伸展樹 \(S1\) 和 \(S2\)，其中，\(S1\) 的所有元素都小於 \(x\)，\(S2\) 的所有元素都大於 \(x\)。

首先，執行 \(\text{Find(x, S)}\) 將 \(\text{x}\) 調整為根節點，則 \(\text{x}\) 的左子樹就是 \(\text{S1}\)，右子樹就是 \(\text{S2}\)。如圖所示：

除了上述介紹的 \(5\) 種基本操作外，伸展樹還支援求最大值、最小值、求前趨、求後繼等多種操作，這些操作也都是建立在伸展樹操作 \(\text{Splay}\) 的基礎之上的。

2. 伸展樹的演算法實現

注：這裡的程式碼並不是最簡單的程式碼，而是基於上述思想實現的程式碼，更方便我們結合之前分析的內容來理解。

下面給出伸展樹的各種操作的演算法實現，它們都是基於如下伸展樹的型別定義：

int lson[maxn], // 左兒子編號
    rson[maxn], // 右兒子編號
    p[maxn],    // 父節點編號
    val[maxn],  // 節點權值
    sz;         // 編號範圍 [1, sz]

struct Splay {
    int rt; // 根節點編號
    void zag(int x);    // 左旋
    void zig(int x);    // 右旋
    void splay(int x);  // 伸展操作：將x移到根節點
    int func_find(int v);   // 查詢是否存在值為v的節點
    void func_insert(int v);    // 插入
    void func_delete(int v);    // 刪除
    int get_max();  // 求最大值
    int get_min();  // 求最小值
    int get_pre(int v); // 求前趨
    int get_suc(int v); // 求後繼
    int join(int rt1, int rt2); // 合併
} tree;

1. 左旋操作

void Splay::zag(int x) {
    int y = p[x], z = p[y], a = lson[x];
    lson[x] = y; p[y] = x;
    rson[y] = a; p[a] = y;
    p[x] = z;
    if (z) {
        if (lson[z] == y) lson[z] = x;
        else rson[z] = x;
    }
}

Zag(x)操作

2. 右旋操作

void Splay::zig(int x) {
    int y = p[x], z = p[y], a = rson[x];
    rson[x] = y; p[y] = x;
    lson[y] = a; p[a] = y;
    p[x] = z;
    if (z) {
        if (lson[z] == y) lson[z] = x;
        else rson[z] = x;
    }
}

Zig(x)操作

3. 伸展操作

void Splay::splay(int x) {
    while (p[x]) {
        int y = p[x], z = p[y];
        if (!z) {
            if (x == lson[y]) zig(x);
            else zag(x);
        }
        else if (lson[y] == x) {
            if (lson[z] == y) { // zig-zig
                zig(y);
                zig(x);
            }
            else {  // zig-zag
                zig(x);
                zag(x);
            }
        }
        else {  // rson[y] == x
            if (lson[z] == y) { // zag-zig
                zag(x);
                zig(x);
            }
            else {  // zag-zag
                zag(y);
                zag(x);
            }
        }
    }
    rt = x;
}

4. 查詢

int Splay::func_find(int v) {
    int x = rt;
    while (x) {
        if (val[x] == v) {
            rt = x;
            splay(x);
            return x;
        }
        else if (v < val[x]) x = lson[x];
        else x = rson[x];
    }
    return 0;   // 返回0說明沒找到
}

5. 插入

void Splay::func_insert(int v) {
    val[++sz] = v;
    if (rt == 0) {
        rt = sz;
        return;
    }
    int x = rt;
    while (true) {
        if (v < val[x]) {
            if (lson[x]) x = lson[x];
            else {
                lson[x] = sz;
                p[sz] = x;
                break;
            }
        }
        else {
            if (rson[x]) x = rson[x];
            else {
                rson[x] = sz;
                p[sz] = x;
                break;
            }
        }
    }
    splay(rt = sz);
}

6. 刪除（會用到下面定義的join操作）

void Splay::func_delete(int v) {
    int x = func_find(v);
    if (!x) return;
    int ls = lson[x], rs = rson[x];
    lson[x] = rson[x] = 0;
    p[ls] = p[rs] = 0;
    rt = join(ls, rs);
}

7. 求最大值

int Splay::get_max() {
    if (!rt) return 0;
    int x = rt;
    while (rson[x]) x = rson[x];
    splay(rt = x);
    return x;
}

8. 求最小值

int Splay::get_min() {
    if (!rt) return 0;
    int x = rt;
    while (lson[x]) x = lson[x];
    splay(rt = x);
    return x;
}

9. 求前趨

int Splay::get_pre(int v) {
    if (!rt) return 0;
    int x = rt, ans = 0;
    while (true) {
        if (val[x] <= v) {
            if (!ans || val[ans] < val[x]) ans = x;
            if (rson[x]) x = rson[x];
            else break;
        }
        else {
            if (lson[x]) x = lson[x];
            else break;
        }
    }
    if (ans) splay(rt = ans);
    return ans;
}

10. 求後繼

int Splay::get_suc(int v) {
    if (!rt) return 0;
    int x = rt, ans = 0;
    while (true) {
        if (val[x] >= v) {
            if (!ans || val[ans] > val[x]) ans = x;
            if (lson[x]) x = lson[x];
            else break;
        }
        else {
            if (rson[x]) x = rson[x];
            else break;
        }
    }
    if (ans) splay(rt = ans);
    return ans;
}

11. 合併

int Splay::join(int rt1, int rt2) {
    if (!rt1) return rt2;
    if (!rt2) return rt1;
    Splay tree1;
    tree1.rt = rt1;
    rt1 = tree1.get_max();
    assert(rson[rt1] == 0);
    rson[rt1] = rt2;
    p[rt2] = rt1;
    return rt1;
}

示例程式碼（對應題目：《怪物倉庫管理員（二）》）：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn = 500050;
int lson[maxn], // 左兒子編號
    rson[maxn], // 右兒子編號
    p[maxn],    // 父節點編號
    val[maxn],  // 節點權值
    sz;         // 編號範圍 [1, sz]

struct Splay {
    int rt; // 根節點編號
    void zag(int x);    // 左旋
    void zig(int x);    // 右旋
    void splay(int x);  // 伸展操作：將x移到根節點
    int func_find(int v);   // 查詢是否存在值為v的節點
    void func_insert(int v);    // 插入
    void func_delete(int v);    // 刪除
    int get_max();  // 求最大值
    int get_min();  // 求最小值
    int get_pre(int v); // 求前趨
    int get_suc(int v); // 求後繼
    int join(int rt1, int rt2); // 合併
} tree;

/**
    zag(int x) 左旋
*/
void Splay::zag(int x) {
    int y = p[x], z = p[y], a = lson[x];
    lson[x] = y; p[y] = x;
    rson[y] = a; p[a] = y;
    p[x] = z;
    if (z) {
        if (lson[z] == y) lson[z] = x;
        else rson[z] = x;
    }
}

/**
    zig(int x) 右旋
*/
void Splay::zig(int x) {
    int y = p[x], z = p[y], a = rson[x];
    rson[x] = y; p[y] = x;
    lson[y] = a; p[a] = y;
    p[x] = z;
    if (z) {
        if (lson[z] == y) lson[z] = x;
        else rson[z] = x;
    }
}

/**
    splay(int x) 伸展操作
*/
void Splay::splay(int x) {
    while (p[x]) {
        int y = p[x], z = p[y];
        if (!z) {
            if (x == lson[y]) zig(x);
            else zag(x);
        }
        else if (lson[y] == x) {
            if (lson[z] == y) { // zig-zig
                zig(y);
                zig(x);
            }
            else {  // zig-zag
                zig(x);
                zag(x);
            }
        }
        else {  // rson[y] == x
            if (lson[z] == y) { // zag-zig
                zag(x);
                zig(x);
            }
            else {  // zag-zag
                zag(y);
                zag(x);
            }
        }
    }
    rt = x;
}

int Splay::func_find(int v) {
    int x = rt;
    while (x) {
        if (val[x] == v) {
            rt = x;
            splay(x);
            return x;
        }
        else if (v < val[x]) x = lson[x];
        else x = rson[x];
    }
    return 0;   // 返回0說明沒找到
}

void Splay::func_insert(int v) {
    val[++sz] = v;
    if (rt == 0) {
        rt = sz;
        return;
    }
    int x = rt;
    while (true) {
        if (v < val[x]) {
            if (lson[x]) x = lson[x];
            else {
                lson[x] = sz;
                p[sz] = x;
                break;
            }
        }
        else {
            if (rson[x]) x = rson[x];
            else {
                rson[x] = sz;
                p[sz] = x;
                break;
            }
        }
    }
    splay(rt = sz);
}

void Splay::func_delete(int v) {
    int x = func_find(v);
    if (!x) return;
    int ls = lson[x], rs = rson[x];
    lson[x] = rson[x] = 0;
    p[ls] = p[rs] = 0;
    rt = join(ls, rs);
}

int Splay::get_max() {
    if (!rt) return 0;
    int x = rt;
    while (rson[x]) x = rson[x];
    splay(rt = x);
    return x;
}

int Splay::get_min() {
    if (!rt) return 0;
    int x = rt;
    while (lson[x]) x = lson[x];
    splay(rt = x);
    return x;
}

int Splay::get_pre(int v) {
    if (!rt) return 0;
    int x = rt, ans = 0;
    while (true) {
        if (val[x] <= v) {
            if (!ans || val[ans] < val[x]) ans = x;
            if (rson[x]) x = rson[x];
            else break;
        }
        else {
            if (lson[x]) x = lson[x];
            else break;
        }
    }
    if (ans) splay(rt = ans);
    return ans;
}

int Splay::get_suc(int v) {
    if (!rt) return 0;
    int x = rt, ans = 0;
    while (true) {
        if (val[x] >= v) {
            if (!ans || val[ans] > val[x]) ans = x;
            if (lson[x]) x = lson[x];
            else break;
        }
        else {
            if (rson[x]) x = rson[x];
            else break;
        }
    }
    if (ans) splay(rt = ans);
    return ans;
}

int Splay::join(int rt1, int rt2) {
    if (!rt1) return rt2;
    if (!rt2) return rt1;
    Splay tree1;
    tree1.rt = rt1;
    rt1 = tree1.get_max();
    assert(rson[rt1] == 0);
    rson[rt1] = rt2;
    p[rt2] = rt1;
    return rt1;
}

int n, op, x;

int main() {
    cin >> n;
    while (n --) {
        cin >> op;
        if (op != 3 && op != 4) cin >> x;
        if (op == 1) tree.func_insert(x);
        else if (op == 2) tree.func_delete(x);
        else if (op == 3) cout << val[tree.get_min()] << endl;
        else if (op == 4) cout << val[tree.get_max()] << endl;
        else if (op == 5) cout << val[tree.get_pre(x)] << endl;
        else cout << val[tree.get_suc(x)] << endl;
    }
    return 0;
}

普通平衡樹學習筆記之Splay演算法
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[演算法] 資料結構 splay(伸展樹)解析
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