線段樹合併 學習筆記
線段樹分治
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考慮怎麼判斷二分圖。先考慮弱化的版本。
- 不考慮刪邊加邊，則可以直接黑白染色。
- 考慮只加邊，不刪邊，分類討論：
- 注意到對於同一個連通塊，一共只有兩種染色方式。
- 加的邊在兩個連通塊之間，一定是 Yes，並確定了兩個連通塊的染色方案。
- 加的邊在連通塊內，直接判斷。
- 這樣單次複雜度就都是 \(O(1)\) 的了。
但是刪邊怎麼辦呢？
如果插入是好插入的，刪除是難刪除的，這樣的題目就可以考慮線段樹分治。
我們發現，一張圖不是二分圖，當且僅當其存在奇環。否則可以透過一棵生成樹染色。
於是考慮把圖拆成兩層，每條邊 \((u,v)\) 拆成 \((u,v')\) 和 \((u',v)\)。這樣一個點 \(u\) 能走若干步到達 \(u'\) 的，然後就可以用並查集判斷奇環了。（？）
於是有一個暴力的方法：每次建新圖，然後把有的邊加進去。接著畫圖上樹。
注意到原來我們是想每個時刻繼承其上一個時刻的圖，這樣就不可避免的需要刪除；但是我們可以繼承其父親的圖，這樣就不用刪除了。
但是我們同時只能維護一個並查集，怎麼辦呢？
我們只能考慮回溯時對並查集進行撤銷。但是……路徑壓縮並查集的複雜度是勢能分析來保證的，因此它不能可持久化。於是我們只能把目光移到按秩合併上來。按秩合併的思想和 DSU on Tree 的思想有點像，每次合併時把深度小的合併到深度大的。