第一次見到這個詞是在 zkw 線段樹的課件裡見到的。
標記永久化可以避免下傳懶惰標記，只需在進行詢問時把標記的影響加到答案當中，從而降低程式常數。
洛谷的模板題也證明，確實是小常數。
這三次提交都是遞迴寫法，如果搭配 zkw 線段樹，應該會跑得更快。
具體操作
我們在講懶標向下遞迴的過程中，如果當前區間正好等於查詢區間，那就直接改懶標和數值，倘若當前區間包含查詢區間但不與查詢區間相等，那我們只修改值，這些操作與線段樹修改操作很像。
inline void modify(int u, int l, int r, int lr, int rr, ll c) {
t[u].val += (rr - lr + 1) * c;
if (lr == l && r == rr) {
t[u].laz += c;
return ;
}
if (rr <= mid) modify(ls, l, mid, lr, rr, c);
else if (lr > mid) modify(rs, mid + 1, r, lr, rr, c);
else {
modify(ls, l, mid, lr, mid, c);
modify(rs, mid + 1, r, mid + 1, rr, c);
}
}
需要注意的是，如果查詢的區間橫跨左右兩個孩子區間，那我們需要將查詢區間也從 mid 處分開。
設定好懶標，查詢時該如何處理懶標呢？
按照一般的寫法，在向下遞迴時，我們還要用遞迴把懶標也一起向下傳遞，而標記永久化則是捨棄了向下傳遞懶標這個操作，我們在查詢時設定一個值，用它來記錄沿路的懶標，最後一起統計即可。
為什麼要記錄沿路的懶標呢？
如果包含該區間的大區間被打上了懶標，則說明這一整個大區間都受到這個懶標的影響，所以把它記錄下來。
inline ll query(int u, int l, int r, int lr, int rr, ll add) {
if (lr == l && r == rr) {
return t[u].val + add * t[u].len;
}
ll sum = 0;
if (rr <= mid) {
sum = query(ls, l, mid, lr, rr, add + t[u].laz);
}
else if (lr > mid) {
sum = query(rs, mid + 1, r, lr, rr, add + t[u].laz);
}
else {
sum = query(ls, l, mid, lr, mid, add + t[u].laz)
+ query(rs, mid + 1, r, mid + 1, rr, add + t[u].laz);
}
return sum;
}
最後處理答案時，就是將懶標的和乘上這個區間的長度，add 記錄的是懶標和，可以將這個 add 看作是對於這個區間的每個元素一共要增加的值。
總結
好處：
- 碼量小，不用寫
pushdown和pushup。 - 在可持久化線段樹上應用該技巧能做到區間修改的效果。
壞處：
- 適用範圍有限,只有當求的東西滿足區間貢獻獨立。比如區間加法。
區間最大值就無法標記永久化。 - 多標記好像也不適用。
總歸來說，對於一般的線段樹，遞迴寫法就足夠了，標記永久化用的較少，對於線段樹套線段樹這樣的應該會用的比較多。
例題
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
#define ls (u << 1)
#define rs (u << 1 | 1)
#define mid ((l + r) >> 1)
const int N = 1e5 + 5;
int n, m;
struct seg_tree {
int len;
ll val, laz;
} t[N << 2];
inline void build(int u, int l, int r) {
t[u].len = r - l + 1, t[u].laz = 0;
if (l == r) {
cin >> t[u].val;
return ;
}
build(ls, l, mid);
build(rs, mid + 1, r);
t[u].val = t[ls].val + t[rs].val;
}
inline void modify(int u, int l, int r, int lr, int rr, ll c) {
t[u].val += (rr - lr + 1) * c;
if (lr == l && r == rr) {
t[u].laz += c;
return ;
}
if (rr <= mid) modify(ls, l, mid, lr, rr, c);
else if (lr > mid) modify(rs, mid + 1, r, lr, rr, c);
else {
modify(ls, l, mid, lr, mid, c);
modify(rs, mid + 1, r, mid + 1, rr, c);
}
}
inline ll query(int u, int l, int r, int lr, int rr, ll add) {
if (lr == l && r == rr) {
return t[u].val + add * t[u].len;
}
ll sum = 0;
if (rr <= mid) {
sum = query(ls, l, mid, lr, rr, add + t[u].laz);
}
else if (lr > mid) {
sum = query(rs, mid + 1, r, lr, rr, add + t[u].laz);
}
else {
sum = query(ls, l, mid, lr, mid, add + t[u].laz)
+ query(rs, mid + 1, r, mid + 1, rr, add + t[u].laz);
}
return sum;
}
int main() {
ios::sync_with_stdio(false);
cin.tie(0), cout.tie(0);
cin >> n >> m;
build(1, 1, n);
for (int i = 1, op, x, y; i <= m; ++ i) {
cin >> op >> x >> y;
if (op == 1) {
ll k;
cin >> k;
modify(1, 1, n, x, y, k);
}
else {
cout << query(1, 1, n, x, y, 0) << '\n';
}
}
return 0;
}