[演算法] 資料結構 splay(伸展樹)解析

Last_Breath發表於2021-05-31

前言

splay學了已經很久了，只不過一直沒有總結，鴿了好久來寫一篇總結。

先介紹 splay：亦稱伸展樹，為二叉搜尋樹的一種，部分操作能在 \(O( \log n)\) 內完成，如插入、查詢、刪除、查詢序列第 \(k\) 大、查詢字首（比查詢的數小的數中最大的數）、查詢字尾（比查詢的數大的數中最小的數）等操作，甚至能夠實現區間平移。它由 Daniel Sleator 和 Robert Endre Tarjan 在1985年發明的。注：時間複雜度是均攤為 \(O(\log n)\) ，是經過嚴謹的證明的，單個操作可能退化成 \(O(n)\) 。

本文例題連結

演算法思想

先做一個小小的引入：輸入法中，你經常使用詞語，會在詞條中靠前的位置。實現過程可以使用 splay。

splay 是二叉搜尋樹的一種，這裡簡單介紹一下二叉搜尋樹。

對於一棵二叉樹，滿足樹上任意節點，它的左子樹上任意節點滿足比當前節點的權值小，右子樹上任意節點的權值比當前節點的權值大。則稱這棵樹為二叉搜尋樹。

可以利用二叉搜尋樹的性質來進行操作，比當前節點的權值小就在左子樹查詢，權值大就在右子樹查詢。

理想狀態下，若該二叉樹為一顆完全二叉樹，則單次操作時間複雜度為 \(O(\log n)\) 。但這顆二叉樹可能退化成一條鏈，這樣單次時間複雜度為 \(O(n)\) 。

splay 樹在這上面進行了改進，通過不斷改變樹的形態來保證不會退化，均攤時間複雜度為 \(O(\log n)\) 。基本思想是把搜尋頻率高的點放在深度小的位置，為了操作方便，可以認為每次操作的點都是頻率高的。常常把操作的點，或是操作區間的兩個端點放在根或根的附近的位置，那麼會涉及到旋轉操作。

根據勢能函式分析（我不會），splay 的時間複雜度上限為 \(O((m+n)\log n)\) ，但這個上限是有波動的。

基本操作

建議配合註釋一起使用。

結構體中應包含以下資訊：

struct Splay_Node {
	int son[2], val, cnt, siz, fa;
//分別是：兩個兒子，權值，副本數，子樹大小，父親節點
	#define ls t[pos].son[0] //巨集定義左兒子，方便一些
	#define rs t[pos].son[1] //右兒子，同上
};

簡單說明一下，副本數為權值為 val 的數的個數。

New

開闢新節點，裡面的值隨需求變化，以下是幾個重要的值。

int New(int val, int fa) {
	t[++tot].fa = fa, t[tot].cnt = t[tot].siz = 1, t[tot].val = val;
	return tot;
}

Build

建立splay樹，將極小值置為根節點，極大值作為根節點的右兒子，滿足二叉搜尋樹的性質，程式碼：

void Build() {
	root = New(-INF, 0); //極小值為根節點 
	t[root].son[1] = New(INF, root); //極大值為右兒子 
}

寫這段程式碼的主要原因是：使得 splay 的每個節點不會爆掉邊界，否則很容易就 RE 。

Ident

判斷該節點為父節點的左兒子還是右兒子，左兒子為 \(0\) ，右兒子為 \(1\) 。

bool Ident(int pos) { return t[t[pos].fa].son[1] == pos; }

Update

更新子樹大小，還更新節點資訊（由需求所定）。

void Update(int pos) {
	t[pos].siz = t[ls].siz + t[rs].siz + t[pos].cnt; //子樹大小為左右子樹大小加上自己的副本數
}

Connect

將一對點變為父子關係。

void Connect(int pos, int fa, int flag) {//依次是：子節點，父節點，哪個兒子
	t[fa].son[flag] = pos;//將fa的兒子置為pos
	t[pos].fa = fa;//將pos的父親置為fa
}

Rotate

既然要把一個點旋轉到根節點，那麼就必須先掌握單旋操作，具體分兩個情況討論。

左兒子旋轉至父節點

在這裡插入圖片描述

如上圖，需要進行幾次轉換： \(x\) 的左兒子變為 \(y\) 的右兒子， \(y\) 的右兒子變為\(x\) ， \(a\) 的子節點變為 \(y\) 。

那麼程式可以寫為：

void Rotate(int pos) {//這裡的flag1=0，可以按照上述的三個轉換進行驗證這段程式是對的
	int fa = t[pos].fa, grand = t[fa].fa;
	int flag1 = Ident(pos), flag2 = Ident(fa);
	Connect(pos, grand, flag2);
	Connect(t[pos].son[flag1 ^ 1], fa, flag1);
	Connect(fa, pos, flag1 ^ 1);
	Update(fa); Update(pos);
}

右兒子旋轉至父節點

可以視為上圖的逆操作： \(y\) 的右兒子變為 \(x\) 的左兒子， \(x\) 的左兒子變為\(y\) ， \(a\) 的子節點變為 \(x\) 。

那麼程式依舊可以寫為：

void Rotate(int pos) {//這裡的flag1=1，可以按照上述的三個轉換進行驗證這段程式是對的
	int fa = t[pos].fa, grand = t[fa].fa;
	int flag1 = Ident(pos), flag2 = Ident(fa);
	Connect(pos, grand, flag2);
	Connect(t[pos].son[flag1 ^ 1], fa, flag1);
	Connect(fa, pos, flag1 ^ 1);
	Update(fa); Update(pos);
}

綜上所述，Rotate 操作可以不用判斷左右節點，寫法為上述程式。

Splay

聽名字就知道，這是splay樹的核心操作。

函式 \(splay(pos,to)\) 定義為：將編號為 \(x\) 的節點，旋轉至父親為 \(to\) 的節點（即 \(to\) 的其中一個子節點，且進行 splay 後依然滿足二叉搜尋樹的性質）。

顯然有一種方法：對於當前節點 \(pos\) ，不停進行 \(Rotate(pos)\) ，知道 \(pos\) 的父節點為 \(to\) 為止。

但是這並不能使該 splay 樹的形態發生太大的改變。splay 的目的是改變樹的形態，有一種改進的方法：雙旋。順帶說明一下，單旋會被卡成 \(O(nm)\) 。（具體我也不知道怎麼卡）

雙旋即一次旋轉兩次，設當前點為 \(x\) ，父親節點為 \(y\) ，爺爺為 \(z\) 。具體分為兩種情況，這裡只證明正確性。

x、y、z 形成一條鏈

在這裡插入圖片描述

這種情況先單旋 \(y\) 在單旋 \(x\) 。過程見下圖：
在這裡插入圖片描述

顯然，在上述過程中，嚴謹地滿足了 \(val[x]>val[y]>val[z]\) 。

x、y、z 形成“<”或 “>”

直接進行兩次單旋操作，正確性顯然。

Code

程式碼很短，只有三行。

void Splay(int pos, int to) {
	for(int fa = t[pos].fa; t[pos].fa != to; Rotate(pos), fa = t[pos].fa)
		if(t[fa].fa != to) Ident(pos) == Ident(fa) ? Rotate(fa) : Rotate(pos);
//Ident(pos) == Ident(fa)意味著pos和fa成為了一條鏈的形狀，否則為“<”或“>”。
	if(!to) root = pos;//更新根節點，根節點的父親值為0
}

總結

這些是 splay 的基本操作，之後的所有操作都是建立在這些之上的。

引申操作

Find

定義 \(Find(val)\) ：查詢權值為 \(val\) 的點的編號，若沒有該點就返回 \(0\) 。

利用 splay 為二叉搜尋樹的性質，若 \(val\) 小於當前節點的權值，則在左子樹中查詢；若大於則在右子樹中查詢。知道找到當前節點的編號為 \(0\) 或當前節點的權值等於 \(val\) 的時候返回改點的下標。

int Find(int pos, int val) {
	if(!pos) return 0;//空節點直接返回
	if(val == t[pos].val) return pos;//等於就直接返回節點編號
	else if(val < t[pos].val) return Find(ls, val);//在左子樹中查詢
	else return Find(rs, val);//在右子樹中查詢
}

Insert

即插入操作，需要插入權值為 \(val\) 的值。

其思想跟 \(Find\) 函式差不多，利用二叉搜尋樹的性質直接就可以找到插入的位置。具體分為兩類：

有權值為 \(val\) 的點 \(pos\) ，直接使得副本數加 \(1\) 即可。
沒有權值為 \(val\) 的點 \(pos\) ，則開闢一個新的節點權值為 \(val\) 。

注意 \(pos\) 應傳實參，因為若開闢了新的節點，其父節點的對應兒子也需要改變。

void Insert(int &pos, int val, int fa) {//pos為實參
	if(!pos) Splay(pos = New(val, fa), 0);
	else if(val == t[pos].val) { ++t[pos].cnt; Splay(pos, 0); }
	else if(val < t[pos].val) Insert(ls, val, pos);
	else Insert(rs, val, pos);
}

Erase

即刪除操作， \(Erase(val)\) 定義為：刪除所維護的序列中權值為 \(val\) 的一個節點（如果有的話）。

可以先找到權值為 \(val\) 的節點並定義其編號為 \(pos\) ，分兩種情況。

若當前節點的副本數大於 \(1\) 時，即 \(t[pos].cnt>1\) 時，可以刪除其中一個副本即可，但並沒有刪除這個節點。
否則，則需要刪除該節點。需要先將 \(pos\) splay 到根節點。找到它的字首的編號 \(l\) 和它的字尾的編號 \(r\) ，則 \(t[l].val\leq val \leq t[r].val\) 。顯然， \((t[l].val,t[r].val)\) 區間內的數只有一個，即 \(pos\) 。將 \(l\) splay 至根節點， \(r\) splay 至 \(l\) 的右兒子，則 \(pos\) 必會在 \(r\) 的左兒子處，因為 \(l\) ， \(r\) ， \(pos\) 必回滿足二叉搜尋樹的性質。然後直接刪除 \(r\) 的左兒子即可。

void Erase(int val) {
	int pos = Find(root, val);//找到權值為 val 的點。
	if(!pos) return;//沒有改節點直接返回，沒有難倒刪空氣？
	if(t[pos].cnt > 1) { --t[pos].cnt; Splay(pos, 0); return; }//對應情況1
	Splay(pos, 0);
	int l = ls, r = rs;
	while(t[l].son[1]) l = t[l].son[1];//找到字首
	while(t[r].son[0]) r = t[r].son[0];//找到字尾
	Splay(l, 0); Splay(r, l);//對應情況2
	t[r].son[0] = 0;
}

這裡在提供一種做法，與 \(Find\) 函式的做法類似，可以說是其的升級版。總體框架不變，主要是針對第二種情況，將其旋轉到根節點在進行刪除，這種寫法還是比較常見的。

void Erase(int pos, int val) {
	if(!pos) return;
	if(val == t[pos].val) {
		if(t[pos].cnt > 1) { t[pos].cnt--; Splay(pos, 0); return; }
		if(ls) Rotate(ls), Erase(pos, val);//有左兒子跟左兒子交換
		else if(rs) Rotate(rs), Erase(pos, val);//有右兒子就跟右兒子交換
		else {//沒有兒子就直接刪除，注意必須刪除其父親的對應兒子
			int newroot = t[pos].fa;
			t[t[pos].fa].son[Ident(pos)] = 0;
			Splay(newroot, 0);
		}
		return;
	}
	else if(val < t[pos].val) rase(ls, val);
	else Erase(rs, val);
}

Query_kth

查詢 \(val\) 在序列是第幾大的樹，即按照從小到大的順序排序後， \(val\) 的排名，沒有 \(val\) 輸出返回 \(-1\)。

程式碼使用遞迴實現，考慮對於當前節點 \(pos\) ，比 \(val\) 小的數都在左子樹內，即有 \(t[ls].siz\) 個樹比 \(t[pos].val\) 小。

對於區域性解，可以將 \(Querykth(pos,val)\) 函式理解為 \(pos\) 的子樹中，小於 \(val\) 的值有多少。

則可以分為三種情況來討論。

當 \(val=t[pos].val\) 時，即找到了該節點，返回比它小的數的個數即可，即左子樹的節點數加 \(1\) 。
當 \(val<t[pos].val\) 時， \(val\) 左子樹中，在左子樹中查詢該節點的排名。
當 \(val>t[pos].val\) 時，是最麻煩的部分。 \(val\) 右子樹中，左子樹與當前節點都會為答案做貢獻，先將其統計至答案中，在求出右子樹對於答案的貢獻。

注意，最後的答案是包含了極小值的，所以找到後的答案應該減一，這一部分我寫在了主函式裡，所以沒找到會輸出 \(-1\) 。

int Query_kth(int pos, int val) {
	if(!pos) return 0;//沒有輸出-1
	if(val == t[pos].val) { int res = t[ls].siz + 1; Splay(pos, 0); return res; }//對應情況1
	else if(val < t[pos].val) return Query_kth(ls, val);//對於情況2
	//下兩行程式碼對應情況3
	int res = t[ls].siz + t[pos].cnt;//找到後splay維護形態會導致子樹的大小變化，因此先記錄答案
	return Query_kth(rs, val) + res;
}

Query_val

查詢區間的第 \(k\) 小的數。

可以看做上一個操作的逆操作吧，若 \(k\) 都大於了區間的所有數的個數，就直接返回極大值。

同樣，對於區域性解，可以將 \(Queryval(pos,k)\) 函式理解為 \(pos\) 的子樹中，第 \(k\) 大值為多少。

又可以分為三個情況：

當 \(t[ls].siz\geq k\) 時，即所求答案在左子樹，在左邊查詢即可。
當 \(t[ls].siz+t[pos].cnt\geq k\) 時，答案為 \(t[pos].val\) ，因為第 \(t[ls].siz+1\) 小至 \(t[ls].siz+t[pos].cnt\) 的數全部權值都為 \(t[pos].val\) 。
否則，答案全部會在右子樹當中，查詢右子樹第 \(k-t[ls].siz-t[pos].cnt\) 大，因為當前節點與左兒子一定比右子樹任何一個數小。

同樣的需要注意，最後的答案是包含了極小值的，同樣這一部分我寫在了主函式裡，查詢的時候需要查詢第 \(k+1\) 大的那個數。

int Query_val(int pos, int rank) {
	if(!pos) return INF;
	if(t[ls].siz >= rank) return Query_val(ls, rank);
	else if(t[ls].siz + t[pos].cnt >= rank) { Splay(pos, 0); return t[pos].val; }
	return Query_val(rs, rank - t[ls].siz - t[pos].cnt);
}

Get_Pre、Get_Nxt

在 \(Erase\) 操作中提到過，可以使用那樣的做法。

亦可使用在文末的程式碼中稍快的做法，與 \(Find\) 函式相似，這裡就不多說了。（~~其實是不想打字了~~）

也可以參照這段程式碼將一些操作寫為非遞迴的寫法，會更快一些。

總結

有些細心的同學可能已經發現了，幾乎每個操作都有 splay 操作來維護當前樹的形態，保證時間複雜度。

C++程式碼

只是將上述操作拼起來放在一個程式碼裡。

說明一下操作的幾種型別：

插入 \(x\) 數。
刪除 \(x\) 數(若有多個相同的數，因只刪除一個)。
查詢 \(x\) 數的排名(排名定義為比當前數小的數的個數 \(+1\) )。
查詢排名為 \(x\) 的數。
求 \(x\) 的前驅(前驅定義為小於 \(x\)，且最大的數)。
求 \(x\) 的後繼(後繼定義為大於 \(x\)，且最小的數)。

不是特別長，實現的方法也並不困難，打的時候必須得注意，完整沒附上註釋的程式碼：

#include <cstdio>
namespace Quick_Function {
	template <typename Temp> void Read(Temp &x) {
		x = 0; char ch = getchar(); bool op = 0;
		while(ch < '0' || ch > '9') { if(ch == '-') op = 1; ch = getchar(); }
		while(ch >= '0' && ch <= '9') { x = (x << 1) + (x << 3) + (ch ^ 48); ch = getchar(); }
		if(op) x = -x;
	}
	template <typename T, typename... Args> void Read(T &t, Args &... args) { Read(t); Read(args...); }
	template <typename Temp> Temp Max(Temp x, Temp y) { return x > y ? x : y; }
	template <typename Temp> Temp Min(Temp x, Temp y) { return x < y ? x : y; }
	template <typename Temp> Temp Abs(Temp x) { return x < 0 ? (-x) : x; }
	template <typename Temp> void Swap(Temp &x, Temp &y) { x ^= y ^= x ^= y; }
}
using namespace Quick_Function;
#define INF 0x3f3f3f3f
const int MAXN = 1e6 + 5;
int n;
struct Splay_Node {
	int son[2], val, cnt, siz, fa;
	#define ls t[pos].son[0]
	#define rs t[pos].son[1]
};
struct Splay_Tree {
	int root, tot;
	Splay_Node t[MAXN];
	bool Ident(int pos) { return t[t[pos].fa].son[1] == pos; } 
	int New(int val, int fa) {
		t[++tot].fa = fa, t[tot].cnt = t[tot].siz = 1, t[tot].val = val;
		return tot;
	}
	void Build() { root = New(-INF, 0); t[root].son[1] = New(INF, root); }
	void Update(int pos) { t[pos].siz = t[ls].siz + t[rs].siz + t[pos].cnt; }
	void Connect(int pos, int fa, int flag) { t[fa].son[flag] = pos, t[pos].fa = fa; }
	void Rotate(int pos) {
		int fa = t[pos].fa, grand = t[fa].fa;
		int flag1 = Ident(pos), flag2 = Ident(fa);
		Connect(pos, grand, flag2);
		Connect(t[pos].son[flag1 ^ 1], fa, flag1);
		Connect(fa, pos, flag1 ^ 1);
		Update(fa); Update(pos);
	}
	void Splay(int pos, int to) {
		for(int fa = t[pos].fa; t[pos].fa != to; Rotate(pos), fa = t[pos].fa)
			if(t[fa].fa != to) Ident(pos) == Ident(fa) ? Rotate(fa) : Rotate(pos);
		if(!to) root = pos;
	}
	int Find(int pos, int val) {
		if(!pos) return 0;
		if(val == t[pos].val) return pos;
		else if(val < t[pos].val) return Find(ls, val);
		else return Find(rs, val);
	}
	void Insert(int &pos, int val, int fa) {
		if(!pos) Splay(pos = New(val, fa), 0);
		else if(val == t[pos].val) { ++t[pos].cnt; Splay(pos, 0); }
		else if(val < t[pos].val) Insert(ls, val, pos);
		else Insert(rs, val, pos);
	}
	void Erase(int val) {
		int pos = Find(root, val);
		if(!pos) return;
		if(t[pos].cnt > 1) { --t[pos].cnt; Splay(pos, 0); return; }
		Splay(pos, 0);
		int l = ls, r = rs;
		while(t[l].son[1]) l = t[l].son[1];
		while(t[r].son[0]) r = t[r].son[0];
		Splay(l, 0); Splay(r, l);
		t[r].son[0] = 0;
	}
	int Query_kth(int pos, int val) {
		if(!pos) return 0;
		if(val == t[pos].val) { int res = t[ls].siz + 1; Splay(pos, 0); return res; }
		else if(val < t[pos].val) return Query_kth(ls, val);
		int res = t[ls].siz + t[pos].cnt;
		return Query_kth(rs, val) + res;
	}
	int Query_val(int pos, int rank) {
		if(!pos) return INF;
		if(t[ls].siz >= rank) return Query_val(ls, rank);
		else if(t[ls].siz + t[pos].cnt >= rank) { Splay(pos, 0); return t[pos].val; }
		return Query_val(rs, rank - t[ls].siz - t[pos].cnt);
	}
	int Get_Pre(int val) {
		int pos, res, newroot;
		pos = newroot = root;
		while(pos) {
			if(t[pos].val < val) { res = t[pos].val; pos = rs; }
			else pos = ls;
		}
		Splay(newroot, 0);
		return res;
	}
	int Get_Nxt(int val) {
		int pos, res, newroot;
		pos = newroot = root;
		while(pos) {
			if(t[pos].val > val) { res = t[pos].val; pos = ls; }
			else pos = rs;
		}
		Splay(newroot, 0);
		return res;
	}
};
Splay_Tree tree;
int main() {
	tree.Build(); Read(n); 
	for(int i = 1, opt, x; i <= n; i++) {
		Read(opt, x);
		if(opt == 1) tree.Insert(tree.root, x, 0);
		else if(opt == 2) tree.Erase(x);
		else if(opt == 3) printf("%d\n", tree.Query_kth(tree.root, x) - 1);
		else if(opt == 4) printf("%d\n", tree.Query_val(tree.root, x + 1));
		else if(opt == 5) printf("%d\n", tree.Get_Pre(x));
		else printf("%d\n", tree.Get_Nxt(x));
	}
	return 0;
}

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