資料結構之「AVL樹」

前言

二叉搜尋樹在一般情況下它的查詢時間複雜度是 O(log n)。但在一些特殊的情況下，它會退化為斜樹變成線性結構，導致查詢效率大大降低，根本發揮不出折半查詢的優勢。因此，就需要一種平衡的二叉搜尋樹來達到我們期望查詢時間複雜度為 O(log n) 的資料結構，那就是平衡二叉搜尋樹。

平衡二叉搜尋樹

平衡二叉搜尋樹又叫 AVL樹，它具有以下性質：
1.任一節點對應的兩棵子樹的最大高度差為 1。
2.兩棵子樹都是平衡二叉樹。

通過保證上面 2 條規則，因此它也被稱為高度平衡樹。查詢、插入和刪除在平均和最壞情況下的時間複雜度都是O(log n)。因此，它是一顆相對穩定的樹。

為了保證左右 2 棵子樹的最大高度差為 1，我們需要在插入和刪除時，對樹進行旋轉操作，以保證樹的平衡性。有 2 種基本的操作，那就是左旋和右旋。

在進行左右旋轉時，會出現四種可能性：
1.左左形態
當 x 是 y 的左節點，y 又是 z 的左節點時，這個時候只需要把 y 節點向右旋轉即可。如下圖：

2.左右形態
當 x 是 y 的右節點，而 y 又是 z 的左節點時，需要先把 y 左旋，變成 左左形態，然後再把 z 右旋。如下圖：

3.右右形態
當 x 是 y 的右節點， y 又是 z 的右節點時，這時候只需要把 y 節點向左旋轉即可。如下圖：

4.右左形態
當 x 是 y 的左節點，而 y 又是 z 的右節點時，需要先把 y 右旋，變成 右右形態，然後再把 z 左旋。如下圖：

平衡二叉樹的實現

public class AVLTree {

    //獲取左右節點的高度差
    public int getBalance(Node n) {
        if (n != null) {
            return (getHeight(n.left) - getHeight(n.right));
        }
        return 0;
    }
    //獲取節點的高度
    public int getHeight(Node n) {
        if (n != null) {
            return n.height;
        }
        return 0;
    }

    //右旋
    public Node rightRotate(Node y) {
        Node x = y.left;
        Node T2 = x.right;

        // 旋轉
        x.right = y;
        y.left = T2;

        // 更新節點的高度
        x.height = Math.max(getHeight(x.left), getHeight(x.right)) + 1;
        y.height = Math.max(getHeight(y.left), getHeight(y.right)) + 1;

        return x;
    }

    //左旋
    public Node leftRotate(Node x) {
        Node y = x.right;
        Node T2 = y.left;

        // 旋轉
        y.left = x;
        x.right = T2;

        // 更新節點的高度
        x.height = Math.max(getHeight(x.left), getHeight(x.right)) + 1;
        y.height = Math.max(getHeight(y.left), getHeight(y.right)) + 1;

        return y;
    }

    public Node insert(Node node, int data) {
        if (node == null) {
            return (new Node(data));
        }
        if (node.data > data) {
            node.left = insert(node.left, data);
        } else {
            node.right = insert(node.right, data);
        }
        // 更新節點的高度
        node.height = Math.max(getHeight(node.left), getHeight(node.right)) + 1;

        int balDiff = getBalance(node);

        // 右旋
        if (balDiff > 1 && data < node.left.data) {
            return rightRotate(node);
        }

        // 左旋
        if (balDiff < -1 && data > node.right.data) {
            return leftRotate(node);
        }

        // 先左旋在右旋
        if (balDiff > 1 && data > node.left.data) {
            node.left = leftRotate(node.left);
            return rightRotate(node);
        }

        // 先右旋在左旋
        if (balDiff < -1 && data < node.right.data) {
            node.right = rightRotate(node.right);
            return leftRotate(node);
        }

        return node;
    }
}
class Node {
    int data;
    Node left;
    Node right;
    int height;

    public Node(int data) {
        this.data = data;
        height = 1;
    }
}
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總結

二叉搜尋樹的不穩定性，就有可能退化為近似鏈或鏈，查詢時間複雜度就退化為 O(n)。當 n 很大的時候，效能就大大降低，達不到折半的效果。因此，我們需要一個平衡的二叉搜尋樹。

平衡二叉樹是通過對樹節點的左旋和右旋來保證樹的平衡性，也就是保證左右子樹的高度差不超過 1。

在對樹進行左旋和右旋時，有四種形態分別是：左左，左右，右右，右左。

因此，平衡二叉樹的查詢、插入和刪除在平均和最壞情況下的時間複雜度都是O(log n)。

PS:
清山綠水始於塵，博學多識貴於勤。
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