上節討論的DSW演算法可以從全域性重新平衡樹：每個節點都可能參與樹的重新平衡，或者從節點中移除資料，或者重新設定指標的值。但是，當插入或刪除元素時，將隻影響樹的一部分，此時樹的重新平衡可以只在區域性進行。區域性平衡二叉查詢樹有一個鼎鼎大名的演算法，叫做AVL演算法，由AVL演算法構建出來的二叉樹稱之為AVL樹。
AVL樹首先是一顆二叉查詢樹，其次，AVL樹要求每個節點左右子樹的高度差最大為1。例如，圖1-1中的所有樹都是AVL樹。節點中的數字表示平衡因子，即左右子樹的高度差。平衡因子等於右子樹的高度減去左子樹的高度。對於AVL樹，所有的平衡因子都應是+1、0或-1。平衡AVL樹的技術不保證得到的樹是完全平衡的，但卻是高度平衡的。有關平衡的概念可以參考資料結構與演算法-二叉查詢樹平衡(DSW)。
假設我們已經有了一顆AVL樹，那麼如何保證在插入或者刪除元素時繼續保持AVL樹的特性呢？
- 插入
前人對於AVL樹的插入操作進行總結，發現一共有4種情況需要討論。其中，在左子樹中插入有兩種情況，在右子樹中插入也有兩種情況。並且它們是對稱的，因此，我們以右子樹為例，只需要討論兩種情況即可。
假設我們在AVL樹中插入一個新的節點p，那麼p的父節點以及祖父節點的平衡因子都有可能改變，我們從下到上更新節點的平衡因子，如果發現某個節點的平衡因子成為+2或者-2，那麼就以該節點為根擷取這段子樹。如果根節點平衡因子成為了+2，代表節點插入到了右子樹中，如果根節點平衡因子成為了-2，代表節點插入到了左子樹。我們這裡只討論+2，即節點插入到右子樹上的兩種情況。
如果節點平衡因子變成了+2，那麼，我們可以將這顆子樹抽象出來，它必然是下面這種樣子：
也就是說，如果插入新節點使P節點的平衡因子成了+2，那麼以P為根的子樹，必然是上面的樣子。插入的新節點要麼放在Q的左子樹上，要麼放在Q的右子樹上，這就是我們要討論的兩種情況。
1、RR
第一種情況有個簡稱，叫做RR，也就是說新節點插入到右子樹的右節點，就像這樣：
怎麼處理呢？P節點的左子樹比右子樹低，還記得左旋的效果嗎？左旋可以提高左子樹的高度，降低右子樹的高度，用在這裡正合適。將Q節點圍繞P節點進行左旋之後效果如下：
非常完美，左旋在這裡產生了兩個效果。首先，左旋使當前子樹重新保持平衡，其次，左旋沒有改變當前子樹的高度。左旋之前子樹高度為h + 2，左旋之後依然是h + 2。這就意味著，從Q節點開始往上的節點不需要更新平衡因子了。所以，左旋使得演算法變得足夠簡單。
- RL
顧名思義，RL的意思是將新節點插入到右子樹的左節點上，就像這樣：
怎麼處理呢？首先還是左旋，但是很快你會發現，左旋確實提高了左子樹高度，但是太高了，又造成了新的不平衡，就像這樣：
究其原因，是h + 1那顆子樹大大提高了左子樹高度，我們必須把它放在右子樹上才行，可以這樣處理。首先，我們認為，如果是因為在P樹的右子樹的左節點上插入元素導致P節點不平衡，那麼，在沒有插入新節點之前，P樹肯定是下面這種樣子的：
Q的左子樹插入了新的節點，可能插入到R的左子樹或者右子樹，先不管這個，為了降低Q的左子樹的高度，將R圍繞著Q進行右旋，結果是這樣：
靠譜，R的左子樹高度就是就是m1樹的高度，既可能是h - 1，也可能是h，但是都比h + 1要小，這時我們再做一次左旋，結果如下：
完美，R樹最終平衡了，並且R樹的高度依然保持在h + 2，這也意味著不必更新R節點之上的祖先節點的平衡因子了。至於P和Q節點的平衡因子，這要看新節點是插入到m1樹還是m2樹上了，但是無論如何，R樹都已經高度平衡了。
總結一下，對於RL形式的子樹，首先對右子樹的左節點做一次右旋，然後對新的根節點做一次左旋即可。
插入還有LL，LR兩種形式，但是它們分別和RR，RL形式對稱，這裡就不多介紹了。
這裡有個我看到的非常精闢的總結，引用一下：
下面介紹刪除節點之後如何平衡二叉查詢樹。
- 刪除
刪除比插入更加複雜，但是有著插入節點積累的經驗，理解刪除反而更加容易。
刪除節點首先面對的問題是平衡因子從哪個節點開始變化的？這就要說到二叉查詢樹的刪除邏輯了，在資料結構與演算法-二叉查詢樹中有著詳細的介紹。這裡簡單介紹一下，刪除葉子節點或者度為1的節點，平衡因子從被刪除節點的父節點開始變化。刪除度為2的節點需要使用複製刪除的技巧，使用被刪除節點的直接前驅或者直接後繼來替換被刪除節點，然後刪除直接前驅或者直接後繼，那麼，平衡因子就是從直接前驅或者直接後繼的父節點開始變化的。
既然知道了平衡因子開始變化的節點，就可以從下到上的更新平衡因子的變化。
在探討插入節點引起的二叉樹的變化時，我們總結出了RR、RL、LL、LR四種情況，刪除節點會引起怎樣的變化呢？
刪除和插入有兩個不同點：
1、刪除不僅包含以上四中變化，還多出兩種，當然這兩種也是對稱的
多出來的兩種是當前節點的父節點的平衡因子等於+2或者-2時，當前節點的平衡因子等於0。
插入節點之所以沒有這兩種變化，是因為插入節點使當前節點平衡因子變成0，說明當前節點的高度沒有變化，更加不會引起祖先節點的平衡因子變化了。而刪除節點時，如果當前節點平衡因子變成0，那麼當前節點的高度其實變小了，可能引起祖先節點的平衡因子變化。
怎麼處理這種情況呢？如果父節點平衡因子等於+2，那就對當前節點進行左旋。如果父節點平衡因子等於-2，那就對當前節點進行右旋即可。
2、重新平衡過程沒有在發現平衡因子為+2或者-2的第一個節點P後停止，而是追蹤到根節點
在插入節點的重新平衡過程中，我們在意的是第一個平衡因子為+2或者-2的節點，原因在於我們執行左旋或者右旋之後，子樹不僅重新平衡並且高度也和沒有插入節點之前保持一致，因此，祖先節點的平衡因子就不會發生變化了。但是刪除節點發生了變化，重新平衡之後子樹的高度變小了。
為什麼重新平衡之後，插入節點高度不變而刪除節點高度變小呢？
可以思考下平衡的過程，假設平衡因子變化為+2的節點為P，它的左子樹高度為h，右子樹高度必然為h
+ 1，只有在右子樹插入新的節點，P節點的平衡因子才會變化為+2，重新平衡之後該樹的左右子樹高度為h + 1，因此該樹的高度h +
2沒有變化。但是對於刪除又有不同，假設P節點左子樹高度為h，右子樹高度必然為h +
1，只有在左子樹刪除節點之後，P節點的平衡因子才會變化為2，重新平衡之後該樹的左右子樹的高度為h，那麼該樹的高度h +
1比原來就減少了1。因為上述原因，刪除節點之後重新平衡的邏輯不能只執行一次，而是從平衡因子發生變化的節點開始往上一直追蹤到根節點，發現不平衡的節點都要執行平衡邏輯。
到此為止，AVL樹中新增和刪除節點的邏輯已經探討完畢。當然，這裡純粹是學術上的探討，沒有程式碼示例，更加精深的內容需要在實踐中摸索。
知識的積累從來不是看了一兩篇文章就可以完成的，畢竟，功夫在詩外。