一、認識平衡二叉樹

前幾天，我們將搜尋二叉樹（也稱為二叉排序樹）講解了，重點講了搜尋二叉樹的插入和刪除操作，由特別是刪除操作，是比較難的知識點。現在我們將繼續在搜尋二叉樹的基礎之上，學習一顆新的數，那就是大名鼎鼎的平衡二叉樹（AVL樹）。在學習平衡二叉樹前，同學們需掌握了搜尋二叉樹的基本操作之後，再來看平衡二叉樹的知識，就會簡單一點哦！！！

前期文章：二叉樹的概念以及搜尋二叉樹。

本期文章：GitHub原始碼連結。

我們前面講了搜尋二叉樹的定義：一個節點的左子節點的關鍵字值小於這個節點，右子節點的關鍵字值大於或等於這個父節點。簡單點說就是左邊的小，右邊的大。現在我們試著將這個陣列插入到搜尋二叉樹，看看是什麼樣子？

int[] array = {1,2,3,4,5,6,7,8}; //升序

1

當我們試著去插入後，會發現，這顆搜尋二叉樹有一點怪怪，如圖：

根據上面的圖，我們可以看出，當我們去對一個本身已經有序的陣列，去插入到搜尋二叉樹中，結果卻跟“連結串列”長得更相似。也就是說，假設我們需要查詢8，這顆搜尋二叉樹的時間複雜度就跟連結串列一樣，是O(N)了。所以怎麼辦？？？就出現了今天的主題：平衡二叉樹。

要想使時間複雜度降下來，我們就得調整這棵樹的“樣子”，使之查詢元素的時間複雜度，跟這棵樹的深度直接掛鉤，直接變為O(logN)。所以我們得從新增元素的時候著手。平衡二叉樹程式碼的整體框架，跟搜尋二叉樹差不多，如下：

class TreeNode {

public int val;

public int height; //新加的成員變數：節點高度

public TreeNode left;

public TreeNode right;

public TreeNode(int val) {

this.val = val;

this.height = 1; //新節點的初始高度為1

}

public class AVL{

private TreeNode root; //根結點

public void add(int val) { //插入新的節點

}

public void remove(int val) { //刪除對應的節點

}

public boolean contains(int val) { //查詢是否有該值

}

二、插入操作

首先，平衡二叉樹與搜尋二叉樹的差別在於：平衡二叉樹，它自己可以自動調節整棵樹的平衡，也叫自平衡機制。所以在平衡二叉樹裡，有一個概念叫做平衡因子，意思就是：對於每一個子樹而言，它的左子樹的高度減去右子樹的高度，差值的絕對值不能超過1；換句話說就是：兩邊高度相減的範圍必須在[-1,1]，這個區間呢，才能稱為平衡。這也是我們為什麼在TreeNode類裡面加入了height這個變數的原因。

插入操作，我們只需掌握4種不同情況導致的不平衡。分別是 LL型、RR型、LR型和RL型。

LL型

就如上面這幅圖所示，當我們插入5節點後，計算平衡因子，我們就會發現，在12結點處的平衡因子超過了1，所以我們需要對12這個節點進行調整。正是因為2節點的插入，從而導致了12節點的不平衡，而5節點在12節點的左子樹（8節點）的左子樹（5節點）。所以這種情況就叫LL型。我們稍微將上面的圖再“裝飾”一下，將它們各自的子節點都顯示出來，如下圖：（注：T1~T4，在實際的情況中可能沒有，此時是為了讓大家更好理解如何去進行旋轉操作，才加上的）

LL型動圖

對於LL型，我們需要進行右旋轉操作，同學們根據動圖，自行在紙上畫一下是如何進行連線的，就能更好的理解其中的關係。程式碼圖如下：

最後，我們還要再說一下，旋轉之後，只有兩個節點的高度是需要更改的，就是root和tmp這兩個節點的高度，等於它左右子樹的高度，再加上自己本身的高度值1，就是旋轉之後，這個節點的新高度了。切記：必須先計算root的高度之後，才能計算tmp的高度，因為root是tmp的右子樹，tmp的高度是依賴於root的高度值。

RR型

講完了LL型，RR型，也就簡單了許多，RR型和LL型是差不多的。只是二者互為映象而已。我們就直接看動圖吧！

RR型動圖

計算高度的節點還是root和tmp這兩個節點，還是先計算root的高度，再計算tmp的高度。程式碼圖如下：

LR型

講完了LL型和RR型，接來了的LR和RL型，就非常簡單，因為LR和RL，根本不需要重新再寫新的方法，我們只需要旋轉兩次，就是LR或者RL的操作，多的不說，我們以圖為切入點，展開來講；

上圖就是LR型的情況，當我們嘗試著上面的LL型和RR型，發現是解決不了問題的。我們只有想辦法讓LR型轉化成LL型，問題就迎刃而解了。問題在於怎麼轉化？來，我們看下圖：

我們可以發現，我們只需將8節點先向左旋轉一下，就能得到LL型的狀態。得到LL型後，問題就回到了LL型上，那我們再整體向右旋轉一次，就能達到平衡的效果。我們以動圖來演示一下：

LR型動圖

RL型

相應的RL型，跟LR型也是差不多，就是映象而已。LR是先左旋轉再右旋轉，而RL是先有旋轉再左旋轉。我們還是以圖來展開說明吧！

旋轉過程如下：

整體的程式碼演示，我先以圖片的形式，將框架分出來，看著更為直觀一點，更容易理解一點。

public void add(int val) {

root = add(root, val);

}

private TreeNode add(TreeNode node, int val) {

if (node == null) {

return new TreeNode(val);

}

if (val < node.val) {

node.left = add(node.left, val);

} else { //大於等於的情況，還是需要新建節點

node.right = add(node.right, val);

}

//計算當前節點的高度

node.height = Math.max(getHeight(node.left), getHeight(node.right)) + 1; //取左右兩邊的最大值，再加1

//計算平衡因子

int balanceFactor = getBalanceFactor(node);

if (Math.abs(balanceFactor) > 1) {

//LL型，做右旋轉處理

if (balanceFactor > 1 && getBalanceFactor(node.left) >= 0) {

return R_Rotate(node); //直接將新的根結點返回即可

}

//RR型，做左旋轉處理

if (balanceFactor < -1 && getBalanceFactor(node.right) <= 0) {

return L_Rotate(node); //新的根節點，直接返回

}

//LR型，先對左子樹進行左旋轉，然後再對根節點進行右旋轉

if (balanceFactor > 1 && getBalanceFactor(node.left) < 0) {

node.left = L_Rotate(node.left); //先進行左旋轉，變成LL型

return R_Rotate(node); //再進行右旋轉

}

//RL型，先對右子樹進行右旋轉，然後再對根節點進行左旋轉

node.right = R_Rotate(node.right);

return L_Rotate(node);

}

return node;

}

//計算平衡因子

private int getBalanceFactor(TreeNode node) {

if (node == null) {

return 0;

}

return getHeight(node.left) - getHeight(node.right);

}

//計算節點的高度

private int getHeight(TreeNode node) {

if (node == null) {

return 0;

}

return node.height;

}

這樣的話，平衡二叉樹的插入操作，我們就講完了。接下來，我們來看看刪除操作。

三、刪除操作

刪除和插入是一樣的，我們只是在搜尋二叉樹的刪除操作上，做一些改動，就能實現平衡二叉樹的刪除操作。

分析：整棵樹原本是已經平衡了，是因為我們需要刪除一個節點，從而導致整棵樹產生不平衡。所以們只需要從刪除的節點處，向上一直遍歷，一直向上回溯，然後計算回溯到的節點，重新計算高度，重新計算平衡因子即可。操作完全就是add方法的一樣，直接拷下來即可。下圖是搜尋二叉樹的刪除操作：

平衡二叉樹的刪除，簡直就是一模一樣。我們可以發現，在上面圖中刪除之後，就是直接返回了node節點，。

而平衡二叉樹刪除，就是不要先返回node節點，先對node節點進行計算height，並且計算平衡因子，如果平衡因子超過1了，就調整即可。如果平衡因子沒超過1，此時返回node節點就行。

平衡二叉樹刪除操作程式碼大致框架如下：

public void remove(int val) {

root = remove(root, val); //方法過載

}

private TreeNode remove(TreeNode node, int val) {

if (node == null) {

return null;

}

if (val < node.val) { //小於

node.left = remove(node.left, val);

} else if (val > node.val) { //大於

node.right = remove(node.right, val);

} else if (node.left != null && node.right != null) { //相等的情況，並且有左右兩個孩子

TreeNode minNode = getMinNode(node.right); //返回的是，node的右子樹的最小節點

minNode.right = remove(node.right, minNode.val); //以這個最小節點作為新的node返回，並刪除右子樹上的minNode

minNode.left = node.left;

node = minNode; //這裡先將minNode儲存到node裡面

} else { //相等的情況，只有一個孩子節點，或者是沒有節點情況

node = node.left != null? node.left : node.right;

}

//對node節點進行判斷，並計算height和平衡因子。

if (node == null) {

return null; //上面的else中，有可能node沒有孩子節點，可能會產生null

}

//計算當前節點的高度

node.height = Math.max(getHeight(node.left), getHeight(node.right)) + 1; //取左右兩邊的最大值，再加1

//計算平衡因子

int balanceFactor = getBalanceFactor(node);

if (Math.abs(balanceFactor) > 1) {

//LL型，做右旋轉處理

if (balanceFactor > 1 && getBalanceFactor(node.left) >= 0) {

return R_Rotate(node); //直接將新的根結點返回即可

}

//RR型，做左旋轉處理

if (balanceFactor < -1 && getBalanceFactor(node.right) <= 0) {

return L_Rotate(node); //新的根節點，直接返回

}

//LR型，先對左子樹進行左旋轉，然後再對根節點進行右旋轉

if (balanceFactor > 1 && getBalanceFactor(node.left) < 0) {

node.left = L_Rotate(node.left); //先進行左旋轉，變成LL型

return R_Rotate(node); //再進行右旋轉

}

//RL型，先對右子樹進行右旋轉，然後再對根節點進行左旋轉

node.right = R_Rotate(node.right);

return L_Rotate(node);

}

return node;

}

//返回這棵樹最小的節點

private TreeNode getMinNode(TreeNode node) {

TreeNode pre = null;

while (node != null) {

pre = node;

node = node.left; //向左子樹查詢

}

return pre;

}

對於平衡二叉樹，我們只需深刻理解到LL型和RR型的旋轉操作，那基本上平衡二叉樹就還算掌握的不錯。LR型和RL型，就是前面兩種的衍生而已。不管是add方法還是remove方法；都只需在搜尋二叉樹的基礎之上進行稍微的修改即可。最後大家可以自己再新增一下方法，例如：isBST、isBalanceTree等等。

好啦，本期更新就到此結束啦！！！同學們好好的拿出紙筆去畫一畫那4種旋轉過程，那麼恭喜你，平衡二叉樹就掌握的不錯啦！！！

下期見！！！

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平衡二叉樹（AVL樹），原來如此！！！

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