AVL樹（平衡二叉樹）
概念
二叉搜尋樹雖可以縮短查詢的效率，但如果資料有序或接近有序二叉搜尋樹將退化為單支樹，查詢元素相當於在順序表中搜尋元素，效率低下。因此為了解決這個問題，兩位俄羅斯的數學家發明了一種方法：當向二叉搜尋樹中插入新結點後，如果能保證每個結點的左右子樹高度之差的絕對值不超過1(需要對樹中的結點進行調整)，即可降低樹的高度，從而減少平均搜尋長度。
- 它的左右子樹都是AVL樹
- 左右子樹高度之差的絕對值（也叫平衡因子）不超過1
- 我規定：平衡因子（balance factor）= 右子樹高度 - 左子樹高度（後面這樣實現）
AVL樹節點定義以及框架
template <class K,class V>
struct AVL_Node
{
//三叉鏈
AVL_Node<K, V>* left;
AVL_Node<K, V>* right;
AVL_Node<K, V>* parent;//用來定位父節點
K key;
V value;
int bf;//平衡因子 = 右子樹 - 左子樹
AVL_Node(const K& key, const V& value):left(nullptr),right(nullptr),parent(nullptr), key(key), value(value),bf(0)
{}
};
template <class K, class V>
class AVL_Tree
{
typedef AVL_Node<K,V> Node;
public:
public:
Node* root = nullptr;
};
AVL樹的插入
方法概述
第一步： 我們先按照二叉搜尋樹樹插入節點的方式，插入節點（這一步很簡單，上一篇部落格介紹過）
第二步： 更新平衡因子，更新平衡因子的過程是一個難點，下面我給大家分析一下整個過程
平衡因子的調節
實際上，我們應該能夠發現，插入一個節點後，它之後影響它祖先的平衡因子（可能是所有祖先，也可能是一部分祖先），下面就是一個分析過程：
第一步： 判斷父親節點是否存在，不存在直接結束，如果存在，且插入節點是它的左孩子，那麼父親節點的平衡因子就減1，如果是父親的右孩子，父親的平衡因子就加1。然後對父親節點的平衡因子進行檢索。
第二步： 繼續對父親節點的平衡因子進行檢索，平衡因子會有以下三種情況
- 第一種情況：此時父親的平衡因子為0，則說明插入前父親的平衡因子為1或-1，缺少左節點或右節點插入後，插入的節點已經補齊了左節點或右節點，整體高度不變，對上層無影響，不需要繼續調節。下面是一個演示圖：
- 第二種情況：此時父親節點的平衡因子為-1或1，則說明插入前父親的平衡因子為0，插入後增加了一個左節點或右節點，整體高度增加1，對上層有影響，繼續迭代更新祖先的平衡因子。下面是一個演示圖：
- 第三種情況：此時父親節點的平衡因子為-2或2，則說明插入前父親的平衡因子為-1或1，多了一個左節點或一個右節點，插入後增加了一個左節點或右節點，此時多了兩個左節點和右節點，這棵子樹一邊已經被拉高了，此時這棵子樹不平衡了，需要旋轉處理。下面是一個演示圖：
旋轉處理（出現了不平衡子樹）
一般來說，第一個發生不平衡的節點，我們記作parent，它的孩子分別記作subL(左子樹)和subR（右子樹）
分四種情況討論：
- 左單旋（新插入的節點在右子樹的右側）
具體步驟： 讓subR的左孩子成為parent的右孩子，然後讓parent成為subR的左孩子，最後把兩個節點的平衡因子修改為0。
先畫一個具像圖給大家演示如何進行這個操作（下面是一部分失衡的子樹）
抽象圖：
程式碼實現如下
/*
注意：一般選取第一個不平衡的節點作為parent
*/
//左單旋，新插入的節點在右子樹的右側
/*
步驟：
1.讓subR的左孩子成為parent的右孩子
2.然後讓parent成為subR的左孩子
3.最後把兩個節點的平衡因子修改為0
*/
void RotateL(Node* parent)
{
Node* subR = parent->right;
Node* subRL = subR->left;
//1.先把subR左邊（可能為空也可能不為空）作為parent的右邊
parent->right = subRL;
//2.如果subRL不為空，那麼就讓subRL的父指標指向parent
if (subRL)
{
subRL->parent = parent;
}
//3.先記錄parent的父節點的位置，然後把parent作為subR的左邊
Node* ppNode = parent->parent;
subR->left = parent;
//4.parent的父指標指向subR
parent->parent = subR;
//5.如果ppNode為空-->說明subR現在是根節點，就讓subR的父指標指向nullptr
//如果不是根節點就把subR的父指標指向parent的父節點，parent的父節點（左或右）指向subR
if (ppNode == nullptr)
{
//更新根節點
root = subR;
subR->parent = nullptr;
}
else
{
//判斷parent是ppNode的左還是右
if (ppNode->left == parent)
{
ppNode->left = subR;
}
else
{
ppNode->right = subR;
}
subR->parent = ppNode;
}
//6.把parent和subR的平衡因子更新為0
subR->bf = parent->bf = 0;
}
- 右單旋（新節點插入到左子樹的左側）
具體步驟： 讓subL的右孩子成為parent的左孩子，然後讓parent成為subL的右孩子，最後把兩個節點的平衡因子修改為0
先畫一個具像圖給大家演示如何進行這個操作（下面是一部分失衡的子樹）：
抽象圖：
程式碼實現如下：
//右單旋，新插入的節點在左子樹的左側
/*
步驟：
1.讓subL的右孩子成為parent的左孩子
2.然後讓parent成為subL的右孩子
3.最後把兩個節點的平衡因子修改為0
*/
void RotateR(Node* parent)
{
Node* subL = parent->left;
Node* subLR = subL->right;
//1.先把subL的右邊（可能為空也可能不為空）作為parent的左邊
parent->left = subLR;
//2.如果subLR不為空，就把subLR的父指標指向parent
if (subLR)
{
subLR->parent = parent;
}
//3.記錄parent的父節點的位置，然後把parent作為subL的右邊
Node* ppNode = parent->parent;
subL->right = parent;
//4.parent的父親指標指向subL
parent->parent = subL;
//5.如果ppNode為空-->說明subL現在是根節點，就讓subL的父節點指向nullptr
//不是根節點就把subL的父節點指向parent的父節點，parent的父節點（左或右）指向subL
if (ppNode == nullptr)
{
//更新根節點
root = subL;
subL->parent = nullptr;
}
else
{
//判斷parent是ppNode的左還是右
if (ppNode->left == parent)
{
ppNode->left = subL;
}
else
{
ppNode->right = subL;
}
subL->parent = ppNode;
}
//6.把parent和subL的平衡因子更新為0
subL->bf = parent->bf = 0;
}
- 右左雙旋（新節點插入在較高右子樹左側，這裡和第一種情況的區別就是前者是直線，後者是折線）
具體步驟 先對subR進行一個右單旋，然後對parent進行左單旋，修改平衡因子，有三種改法。三個節點從左至右的三個節點依次是：parent、subRL和subR。
如果subRL的平衡因子為0，就將它們依次改為0，0, 0；
如果subRL的平衡因子為1，就將它們依次改為-1，0, 0；
如果subRL的平衡因子為-1，就將它們依次改為0，0, 1。
先畫一個具像圖給大家演示如何進行這個操作（下面是一部分失衡的子樹）
抽象圖（兩種情況）：
subRL的bf為1
subRL的bf為-1
**程式碼實現如下：**
//右左雙旋，新插入的節點在右子樹的左側
/*
步驟：
1.先對subR進行一個右單旋
2在對parent進行一個左單旋然後修改平衡因子
*/
void RotateRL(Node* parent)
{
Node* subR = parent->right;
Node* subRL = subR->left;
int bf = subRL->bf;//保留subRL的平衡因子的值，方便直到新插入的節點是在subRL左子樹還是右子樹
//旋轉 先對subR進行右旋轉，再對parent進行左旋轉
RotateR(subR);
RotateL(parent);
// 從左到右 parent subRL subR
if (bf == -1)// subRL的左子樹 bf: 0 0 1
{
parent->bf = 0;
subRL->bf = 0;
subR->bf = 1;
}
else if (bf == 1)// subRL的右子樹 bf: -1 0 0
{
parent->bf = -1;
subRL->bf = 0;
subR->bf = 0;
}
else if (bf == 0)
{
parent->bf = 0;
subRL->bf = 0;
subR->bf = 0;
}
}
- 左右雙旋（新節點插入在較高右子樹左側，這裡和第一種情況的區別就是前者是直線，後者是折線）
具體步驟先對subL進行一個左單旋，然後對parent進行右單旋，修改平衡因子，有三種改法。三個節點從左至右的三個節點一次是：subL、subLR和parent。（和上面的類似，這樣有助於我們記住平衡因子的調整，同時我們也可以畫簡圖理解記憶）
如果subLR的平衡因子為0，就將它們依次改為0，0, 0；
如果subLR的平衡因子為1，就將它們依次改為-1，0, 0；
如果subLR的平衡因子為-1，就將它們依次改為0，0, 1。
先畫一個具像圖給大家演示如何進行這個操作（下面是一部分失衡的子樹）
抽象圖（兩種情況）：
subLR的bf為-1
subLR的bf為1
程式碼實現如下：
//左右雙旋，新插入的節點在左子樹的右側
/*
步驟：
1.先對subR進行一個左單旋
2.在對parent進行一個右單旋然後修改平衡因子
*/
void RotateLR(Node* parent)
{
Node* subL = parent->left;
Node* subLR = subL->right;
int bf = subLR->bf;//保留subLR的平衡因子的值，方便直到新插入的節點是在subLR左子樹還是右子樹
//旋轉先對subL進行左旋轉，再對parent進行右旋轉
RotateL(subL);
RotateR(parent);
//從左到右 subL subLR parent
if (bf == -1)// subLR的左子樹 bf: 0 0 1
{
subL->bf = 0;
subLR->bf = 0;
parent->bf = 1;
}
else if (bf == 1)// subLR的右子樹 bf: -1 0 0
{
subL->bf = -1;
subLR->bf = 0;
parent->bf = 0;
}
else if (bf == 0)
{
subL->bf = 0;
subLR->bf = 0;
parent->bf = 0;
}
}
插入程式碼的實現
//二叉樹的插入
bool Insert(const K& key, const V& value)
{
//先按照二叉搜尋樹一樣插入元素
//無節點插入
if (root == nullptr)
{
root = new Node(key,value);
return true;
}
//有節點時插入
Node* parent = nullptr;
Node* cur = root;
while (cur)
{
parent = cur;
//小於往左走
if (key < cur->key)
{
cur = cur->left;
}
//大於往右走
else if (key > cur->key)
{
cur = cur->right;
}
else
{
//找到了，就返回false
return false;
}
}
cur = new Node(key,value);
// 判斷cur應該插在parent的左還是右
// 小於在左，大於在右
if (cur->key < parent->key)
{
parent->left = cur;
cur->parent = parent;
}
else
{
parent->right = cur;
cur->parent = parent;
}
// 更新parent的平衡因子
// 節點的插入只會影響cur的祖先的平衡因子（不是所有的，是一部分，分情況）
while (parent)
{
// 更新parent的平衡因子
// cur在parent的左，parent->bf--
// cur在parent的右，parent->bf++
if (cur == parent->left)
parent->bf--;
else
parent->bf++;
// bf 可能為 -2、-1、0、1、2
// 如果平衡因子為0，說明更新之前，parent的bf為-1或1，現在補齊了左節點或右節點，bf==0，對上層無影響
// 如果平衡因子為-1或1，說明更新之前，parent的bf為0，現在增加了一個左節點或有節點，bf==-1 || bf==1,對上層有影響
// 如果平衡因子為-2或2，說明更新之前，parent的bf為-1或1，現在往左（右）節點補了左（右）節點，也就是一邊
// 拉高了，樹不平衡了，需要用左旋轉或右旋轉來進行調整
if (parent->bf == 0)
{
//對上層沒有影響，退出
break;
}
else if(parent->bf == -1 || parent->bf == 1)
{
// 對上層有影響，迭代更新
cur = parent;
parent = parent->parent;
}
else
{
// 平衡樹出現了問題，需要調整
// 1.右邊高，左旋轉調整
if (parent->bf == 2)
{
// 如果是一條直線==>左旋轉即可
// 如果是一條折線==>右左旋轉
if (cur->bf == 1)
RotateL(parent);
else if (cur->bf == -1)
RotateRL(parent);
}
// 2.左邊高，右旋轉調整
else if (parent->bf == -2)
{
// 如果是一條直線==>右旋轉即可
// 如果是一條折線==>左右旋轉
if (cur->bf == -1)
RotateR(parent);
else if (cur->bf == 1)
RotateLR(parent);
}
// 調整後是平衡樹，bf為0，不需要調整了
break;
}
}
return true;
}
AVL樹的刪除
方法概述
第一步： 我們先按照二叉搜尋樹樹刪除節點的方式，刪除節點（這一步很簡單，上一篇部落格介紹過）
第二步： 然後根據對應刪除情況更新平衡因子，這裡更新平衡因子的方法與插入的更新方法是相反的，下面我給大家分析一下整個過程
平衡因子調節
原則：旋轉的方向取決於是結點parent的哪一棵子樹被縮短。且把第一個不平衡的節點設為parent節點。
刪除節點後，如果刪除的節點為根節點，就結束。否則根據刪除節點為父節點的左右調整父節點的平衡因子。如果刪除節點是父節點的左孩子，那麼父親節點的平衡因子加1，否則減1。然後對父親節點進行檢索。
有以下幾種情況：
第一種情況：此時父親的平衡因子為0，則說明刪除前父親的平衡因子為1或-1，多出一個左節點或右節點，刪除節點後，左右高度相等，整體高度減1，對上層有影響，需要繼續調節。下面是一個演示圖：（如果此時3為根節點，那麼也可以結束）
第二種情況：此時父親的平衡因子為-1或1，則說明刪除前父親的平衡因子為0，左右高度相等，刪除節點後，少了一個左節點或右節點，但是整體高度不變，對上層無影響，不需要繼續調節。下面是一個演示圖：
第三種情況： 此時父親節點的平衡因子為-2或2，則說明刪除前父親的平衡因子為-1或1，多了一個左節點或一個右節點，刪除了一個右節點或左節點，此時多了兩個左節點或右節點，這棵子樹一邊已經被拉高了，此時這棵子樹不平衡了，需要旋轉處理。下面是一個演示圖：
旋轉處理
這裡我只分析右邊高的情況，左邊高和它對稱的，操作是相同的。
情況一：若還未刪除的時候，parent的平衡因子和subR的平衡因子相同，則執行一個單旋轉來恢復平衡
操作方法： 對parent進行左旋轉，因為subR的平衡因子為0，需要繼續檢索，然後繼續迭代，把cur迭代sub的位置，parent到cur的父親的位置
抽象圖：
情況二：若還未刪除的時候，subR的平衡因子為0，那麼執行一個單旋轉來恢復parent的平衡
操作方法： 對parent進行左旋，然後修改平衡因子，把subR的平衡因子改為-1，parent的平衡因子改為1，因為subR的平衡因子為-1，所以無需迭代，直接結束
抽象圖：
情況三：若還未刪除的時候，parent和subR的平衡因子相反，那麼就執行一個雙旋轉來恢復平衡，先圍繞subR旋轉，再圍繞parent旋轉
操作方法： 對subR進行右旋，然後對parent進行左旋，此時subR的平衡因子為0，需迭代
抽象圖：（三種情況）對應上面的右左雙旋
如果subRL的平衡因子為0，就將它們依次改為0，0, 0；
如果subRL的平衡因子為1，就將它們依次改為-1，0, 0；
如果subRL的平衡因子為-1，就將它們依次改為0，0, 1。
值得注意的是，這三種情況最後的平衡樹subRL均為0，對應這我們講的第一種情況，subRL為0，說明它只有一個左子樹或只有一個右子樹，被刪除了，那麼高度必然發生變化，一旦高度發生變化，就必須向上迭代調整上面的節點的平衡因子，將其調整成-1或者1的時候，徹底平衡，不需要再繼續調整，因為父親節點是-1或者1，說明刪除前它的左右子樹均存在，那麼刪除其中一棵樹不會影響樹的高度，所以依舊不會對上面的節點的平衡因子產生影響，所以只有當調整後subRL的節點是-1和1的時候，才是真正平衡的時候
刪除程式碼的實現
//二叉搜尋樹的刪除
bool Erase(const K& key)
{
//樹為空，刪除失敗
if (root == nullptr)
{
return false;
}
//parent始終是cur的父親節點
//cur就是要找的刪除的當前節點
Node* parent = nullptr;
Node* cur = root;
while (cur)
{
//小於往左邊走
if (key < cur->key)
{
parent = cur;
cur = cur->left;
}
//大於往右走
else if (key > cur->key)
{
parent = cur;
cur = cur->right;
}
else
{
// 找到了，開始刪除
// 1.左右子樹都為空，直接刪除，可以歸類為左為空
// 2.左右子樹只有一邊為空，左為空，父親指向我的右，右為空，父親指向我的左
// 3.左右子樹都不為空，取左子樹最大的節點或右子樹最小的節點和要刪除的節點交換，然後再刪除
//當前情況是情景三，刪除的節點它的左為空，右未知
if (cur->left == nullptr)
{
// 要刪除節點為根節點時，直接把右子樹的根節點賦值給——root
// 根節點的話會導致parent為nullptr
if (root == cur)
{
root = root->right;
delete cur;
break;
}
else
{
//左為空，父親指向我的右
//判斷cur在父親的左還是右
if (parent->left == cur)
{
parent->left = cur->right;
//左子樹少了一個節點 ++
parent->bf++;
}
else
{
parent->right = cur->right;
//右子樹少了一個節點 --
parent->bf--;
}
}
if (parent->bf != -1 && parent->bf != 1)
{
AfterEraseUpdateBf(parent);
}
delete cur;
}
//當前情況是情景二，刪除節點它的右為空，左未知
else if (cur->right == nullptr)
{
if (root == cur)
{
root = root->left;
delete cur;
break;
}
else
{
//右為空，父親指向我的左
//判斷cur在父親的左還是右
if (parent->left == cur)
{
parent->left = cur->left;
parent->bf++;
}
else
{
parent->right = cur->left;
parent->bf--;
}
}
if (parent->bf != -1 && parent->bf != 1)
{
AfterEraseUpdateBf(parent);
}
delete cur;
}
//只剩下情景四
else
{
//找右子樹中最小的節點，當前cur就是要刪除的節點
Node* rightMinParent = cur;
Node* rightMin = cur->right;//去右子樹找最小的節點
while (rightMin->left)
{
rightMinParent = rightMin;
rightMin = rightMin->left;//一直往左走，找右子樹最小的節點
}
//替代刪除
cur->key = rightMin->key;
//轉化成了情景三，左孩子為空
if (rightMinParent->left == rightMin)
{
rightMinParent->left = rightMin->right;
rightMinParent->bf++;
}
else
{
rightMinParent->right = rightMin->right;
rightMinParent->bf--;
}
if (rightMinParent->bf != -1 && rightMinParent->bf != 1)
{
AfterEraseUpdateBf(rightMinParent);
}
delete rightMin;
}
return true;
}
}
return false;
}
void AfterEraseUpdateBf(Node* parent)
{
if (parent == nullptr)
{
return;
}
Node* cur = parent;
goto first;
while (parent)
{
// 更新parent的平衡因子
// cur在parent的左，parent->_bf++
// cur在parent的右，parent->_bf--
if (cur == parent->left)
parent->bf++;
else
parent->bf--;
// bf 可能為 -2、-1、0、1、2
// 如果平衡因子為0，說明更新之前，parent的bf為-1或1，現在刪掉了左節點或右節點，整體高度變了，對上層有影響
// 如果平衡因子為-1或1，說明更新之前，parent的bf為0，現在刪掉了一個左節點或有節點，整體高度不變，對上層無影響
// 如果平衡因子為-2或2，說明更新之前，parent的bf為-1或1，現在往左（右）節點補了左（右）節點，也就另一邊
// 拉高了，樹不平衡了，需要用左旋轉或右旋轉來進行調整
first:
//此時是部落格中介紹的第一種情況
if (parent->bf == 0)
{
//對上層有影響，迭代更新
//如果parent是根節點就結束
if (parent->parent == nullptr)
{
break;
}
cur = parent;
parent = parent->parent;
}
//此時是部落格中介紹的第二種情況
else if (parent->bf == -1 || parent->bf == 1)
{
//對上層無影響，退出
break;
}
//只剩下第三種情況
else
{
//平衡樹出現了問題，需要調整
//1.右邊高，左旋轉調整
if (parent->bf == 2)
{
//此時是第三種情況的情景1
/*
對parent進行左旋轉，迭代
*/
if (parent->right->bf == 1)
{
RotateL(parent);
cur = parent->parent;
parent = cur->parent;
}
//此時是第三種情況的情景3
/*
對subR進行右旋轉，然後對parent進行左旋，迭代
*/
else if (parent->right->bf == -1)
{
Node* subR = parent->right;
Node* subRL = subR->left;
RotateRL(parent);
// 不平衡向上調整 注意：bug1（以為調整完就是1或-1了，其實三種情況調整完均為0，需要繼續向上迭代
if (subRL->bf != 1 && subRL->bf != -1)
{
cur = subRL;
parent = cur->parent;
continue;
}
}
//此時是第三種情況的情景2
/*
對parent進行左旋，然後修改平衡因子，把subR的平衡因子改為-1，
parent的平衡因子改為1，因為subR的平衡因子為-1，所以無需迭代
*/
else if (parent->right->bf == 0)
{
RotateL(parent);
parent->bf = 1;
parent->parent->bf = -1;
}
}
// 2.左邊高，右旋轉調整
else if (parent->bf == -2)
{
// 如果是一條直線==>右旋轉即可
// 如果是一條折線==>左右旋轉
if (parent->left->bf == -1)
{
RotateR(parent);
cur = parent->parent;// bug2 cur要變成這個位置是因為選擇後父親的位置變了，畫圖
parent = cur->parent;
continue;//parent不是-1或1就繼續
}
else if (parent->left->bf == 1)// 調整後 s sR p 如果sR是1或-1可以退出
{
Node* s = parent->left;
Node* sR = s->right;
RotateLR(parent);
// 不平衡向上調整 為0時如果parent為根
if (sR->bf != 1 && sR->bf != -1)
{
cur = sR;
parent = cur->parent;
continue;
}
}
else if (parent->left->bf == 0)// 平衡因子要修改，畫圖感受 parent->_parent: 1 parent: -1
{
RotateR(parent);
parent->parent->bf = 1;
parent->bf = -1;
}
}
// 調整後是平衡樹，bf為1或-1，不需要調整了,因為-1和1才是最後真正平衡的狀態
break;
}
}
}
AVL樹的查詢
查詢的程式碼和二叉搜尋樹是一樣的，這裡就不過多介紹。
程式碼實現如下：
//AVL樹的查詢
bool Find(const K& key)
{
if (root == nullptr)
return false;
Node* cur = root;
while (cur)
{
// 小於往左走
if (key < cur->key)
{
cur = cur->left;
}
// 大於往右走
else if (key > cur->key)
{
cur = cur->right;
}
else
{
// 找到了
return true;
}
}
return false;
}
AVL樹完整程式碼以及測試
#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS
#include<iostream> //引入標頭檔案
#include<string>//C++中的字串
#include<vector>
using namespace std; //標準名稱空間
template <class K,class V>
struct AVL_Node
{
//三叉鏈
AVL_Node<K, V>* left;
AVL_Node<K, V>* right;
AVL_Node<K, V>* parent;//用來定位父節點
K key;
V value;
int bf;//平衡因子 = 右子樹 - 左子樹
AVL_Node(const K& key, const V& value):left(nullptr),right(nullptr),parent(nullptr), key(key), value(value),bf(0)
{}
};
template <class K, class V>
class AVL_Tree
{
typedef AVL_Node<K,V> Node;
public:
/*
注意：一般選取第一個不平衡的節點作為parent
*/
//左單旋，新插入的節點在右子樹的右側
/*
步驟：
1.讓subR的左孩子成為parent的右孩子
2.然後讓parent成為subR的左孩子
3.最後把兩個節點的平衡因子修改為0
*/
void RotateL(Node* parent)
{
Node* subR = parent->right;
Node* subRL = subR->left;
//1.先把subR左邊（可能為空也可能不為空）作為parent的右邊
parent->right = subRL;
//2.如果subRL不為空，那麼就讓subRL的父指標指向parent
if (subRL)
{
subRL->parent = parent;
}
//3.先記錄parent的父節點的位置，然後把parent作為subR的左邊
Node* ppNode = parent->parent;
subR->left = parent;
//4.parent的父指標指向subR
parent->parent = subR;
//5.如果ppNode為空-->說明subR現在是根節點，就讓subR的父指標指向nullptr
//如果不是根節點就把subR的父指標指向parent的父節點，parent的父節點（左或右）指向subR
if (ppNode == nullptr)
{
//更新根節點
root = subR;
subR->parent = nullptr;
}
else
{
//判斷parent是ppNode的左還是右
if (ppNode->left == parent)
{
ppNode->left = subR;
}
else
{
ppNode->right = subR;
}
subR->parent = ppNode;
}
//6.把parent和subR的平衡因子更新為0
subR->bf = parent->bf = 0;
}
//右單旋，新插入的節點在左子樹的左側
/*
步驟：
1.讓subL的右孩子成為parent的左孩子
2.然後讓parent成為subL的右孩子
3.最後把兩個節點的平衡因子修改為0
*/
void RotateR(Node* parent)
{
Node* subL = parent->left;
Node* subLR = subL->right;
//1.先把subL的右邊（可能為空也可能不為空）作為parent的左邊
parent->left = subLR;
//2.如果subLR不為空，就把subLR的父指標指向parent
if (subLR)
{
subLR->parent = parent;
}
//3.記錄parent的父節點的位置，然後把parent作為subL的右邊
Node* ppNode = parent->parent;
subL->right = parent;
//4.parent的父親指標指向subL
parent->parent = subL;
//5.如果ppNode為空-->說明subL現在是根節點，就讓subL的父節點指向nullptr
//不是根節點就把subL的父節點指向parent的父節點，parent的父節點（左或右）指向subL
if (ppNode == nullptr)
{
//更新根節點
root = subL;
subL->parent = nullptr;
}
else
{
//判斷parent是ppNode的左還是右
if (ppNode->left == parent)
{
ppNode->left = subL;
}
else
{
ppNode->right = subL;
}
subL->parent = ppNode;
}
//6.把parent和subL的平衡因子更新為0
subL->bf = parent->bf = 0;
}
//二叉樹的插入
bool Insert(const K& key, const V& value)
{
//先按照二叉搜尋樹一樣插入元素
//無節點插入
if (root == nullptr)
{
root = new Node(key,value);
return true;
}
//有節點時插入
Node* parent = nullptr;
Node* cur = root;
while (cur)
{
parent = cur;
//小於往左走
if (key < cur->key)
{
cur = cur->left;
}
//大於往右走
else if (key > cur->key)
{
cur = cur->right;
}
else
{
//找到了，就返回false
return false;
}
}
cur = new Node(key,value);
// 判斷cur應該插在parent的左還是右
// 小於在左，大於在右
if (cur->key < parent->key)
{
parent->left = cur;
cur->parent = parent;
}
else
{
parent->right = cur;
cur->parent = parent;
}
// 更新parent的平衡因子
// 節點的插入只會影響cur的祖先的平衡因子（不是所有的，是一部分，分情況）
while (parent)
{
// 更新parent的平衡因子
// cur在parent的左，parent->bf--
// cur在parent的右，parent->bf++
if (cur == parent->left)
parent->bf--;
else
parent->bf++;
// bf 可能為 -2、-1、0、1、2
// 如果平衡因子為0，說明更新之前，parent的bf為-1或1，現在補齊了左節點或右節點，bf==0，對上層無影響
// 如果平衡因子為-1或1，說明更新之前，parent的bf為0，現在增加了一個左節點或有節點，bf==-1 || bf==1,對上層有影響
// 如果平衡因子為-2或2，說明更新之前，parent的bf為-1或1，現在往左（右）節點補了左（右）節點，也就是一邊
// 拉高了，樹不平衡了，需要用左旋轉或右旋轉來進行調整
if (parent->bf == 0)
{
//對上層沒有影響，退出
break;
}
else if(parent->bf == -1 || parent->bf == 1)
{
// 對上層有影響，迭代更新
cur = parent;
parent = parent->parent;
}
else
{
// 平衡樹出現了問題，需要調整
// 1.右邊高，左旋轉調整
if (parent->bf == 2)
{
// 如果是一條直線==>左旋轉即可
// 如果是一條折線==>右左旋轉
if (cur->bf == 1)
RotateL(parent);
else if (cur->bf == -1)
RotateRL(parent);
}
// 2.左邊高，右旋轉調整
else if (parent->bf == -2)
{
// 如果是一條直線==>右旋轉即可
// 如果是一條折線==>左右旋轉
if (cur->bf == -1)
RotateR(parent);
else if (cur->bf == 1)
RotateLR(parent);
}
// 調整後是平衡樹，bf為0，不需要調整了
break;
}
}
return true;
}
//右左雙旋，新插入的節點在右子樹的左側
/*
步驟：
1.先對subR進行一個右單旋
2在對parent進行一個左單旋然後修改平衡因子
*/
void RotateRL(Node* parent)
{
Node* subR = parent->right;
Node* subRL = subR->left;
int bf = subRL->bf;//保留subRL的平衡因子的值，方便直到新插入的節點是在subRL左子樹還是右子樹
//旋轉 先對subR進行右旋轉，再對parent進行左旋轉
RotateR(subR);
RotateL(parent);
// 從左到右 parent subRL subR
if (bf == -1)// subRL的左子樹 bf: 0 0 1
{
parent->bf = 0;
subRL->bf = 0;
subR->bf = 1;
}
else if (bf == 1)// subRL的右子樹 bf: -1 0 0
{
parent->bf = -1;
subRL->bf = 0;
subR->bf = 0;
}
else if (bf == 0)
{
parent->bf = 0;
subRL->bf = 0;
subR->bf = 0;
}
}
//左右雙旋，新插入的節點在左子樹的右側
/*
步驟：
1.先對subR進行一個左單旋
2.在對parent進行一個右單旋然後修改平衡因子
*/
void RotateLR(Node* parent)
{
Node* subL = parent->left;
Node* subLR = subL->right;
int bf = subLR->bf;//保留subLR的平衡因子的值，方便直到新插入的節點是在subLR左子樹還是右子樹
//旋轉先對subL進行左旋轉，再對parent進行右旋轉
RotateL(subL);
RotateR(parent);
//從左到右 subL subLR parent
if (bf == -1)// subLR的左子樹 bf: 0 0 1
{
subL->bf = 0;
subLR->bf = 0;
parent->bf = 1;
}
else if (bf == 1)// subLR的右子樹 bf: -1 0 0
{
subL->bf = -1;
subLR->bf = 0;
parent->bf = 0;
}
else if (bf == 0)
{
subL->bf = 0;
subLR->bf = 0;
parent->bf = 0;
}
}
//二叉搜尋樹的刪除
bool Erase(const K& key)
{
//樹為空，刪除失敗
if (root == nullptr)
{
return false;
}
//parent始終是cur的父親節點
//cur就是要找的刪除的當前節點
Node* parent = nullptr;
Node* cur = root;
while (cur)
{
//小於往左邊走
if (key < cur->key)
{
parent = cur;
cur = cur->left;
}
//大於往右走
else if (key > cur->key)
{
parent = cur;
cur = cur->right;
}
else
{
// 找到了，開始刪除
// 1.左右子樹都為空，直接刪除，可以歸類為左為空
// 2.左右子樹只有一邊為空，左為空，父親指向我的右，右為空，父親指向我的左
// 3.左右子樹都不為空，取左子樹最大的節點或右子樹最小的節點和要刪除的節點交換，然後再刪除
//當前情況是情景三，刪除的節點它的左為空，右未知
if (cur->left == nullptr)
{
// 要刪除節點為根節點時，直接把右子樹的根節點賦值給——root
// 根節點的話會導致parent為nullptr
if (root == cur)
{
root = root->right;
delete cur;
break;
}
else
{
//左為空，父親指向我的右
//判斷cur在父親的左還是右
if (parent->left == cur)
{
parent->left = cur->right;
//左子樹少了一個節點 ++
parent->bf++;
}
else
{
parent->right = cur->right;
//右子樹少了一個節點 --
parent->bf--;
}
}
if (parent->bf != -1 && parent->bf != 1)
{
AfterEraseUpdateBf(parent);
}
delete cur;
}
//當前情況是情景二，刪除節點它的右為空，左未知
else if (cur->right == nullptr)
{
if (root == cur)
{
root = root->left;
delete cur;
break;
}
else
{
//右為空，父親指向我的左
//判斷cur在父親的左還是右
if (parent->left == cur)
{
parent->left = cur->left;
parent->bf++;
}
else
{
parent->right = cur->left;
parent->bf--;
}
}
if (parent->bf != -1 && parent->bf != 1)
{
AfterEraseUpdateBf(parent);
}
delete cur;
}
//只剩下情景四
else
{
//找右子樹中最小的節點，當前cur就是要刪除的節點
Node* rightMinParent = cur;
Node* rightMin = cur->right;//去右子樹找最小的節點
while (rightMin->left)
{
rightMinParent = rightMin;
rightMin = rightMin->left;//一直往左走，找右子樹最小的節點
}
//替代刪除
cur->key = rightMin->key;
//轉化成了情景三，左孩子為空
if (rightMinParent->left == rightMin)
{
rightMinParent->left = rightMin->right;
rightMinParent->bf++;
}
else
{
rightMinParent->right = rightMin->right;
rightMinParent->bf--;
}
if (rightMinParent->bf != -1 && rightMinParent->bf != 1)
{
AfterEraseUpdateBf(rightMinParent);
}
delete rightMin;
}
return true;
}
}
return false;
}
void AfterEraseUpdateBf(Node* parent)
{
if (parent == nullptr)
{
return;
}
Node* cur = parent;
goto first;
while (parent)
{
// 更新parent的平衡因子
// cur在parent的左，parent->_bf++
// cur在parent的右，parent->_bf--
if (cur == parent->left)
parent->bf++;
else
parent->bf--;
// bf 可能為 -2、-1、0、1、2
// 如果平衡因子為0，說明更新之前，parent的bf為-1或1，現在刪掉了左節點或右節點，整體高度變了，對上層有影響
// 如果平衡因子為-1或1，說明更新之前，parent的bf為0，現在刪掉了一個左節點或有節點，整體高度不變，對上層無影響
// 如果平衡因子為-2或2，說明更新之前，parent的bf為-1或1，現在往左（右）節點補了左（右）節點，也就另一邊
// 拉高了，樹不平衡了，需要用左旋轉或右旋轉來進行調整
first:
//此時是部落格中介紹的第一種情況
if (parent->bf == 0)
{
//對上層有影響，迭代更新
//如果parent是根節點就結束
if (parent->parent == nullptr)
{
break;
}
cur = parent;
parent = parent->parent;
}
//此時是部落格中介紹的第二種情況
else if (parent->bf == -1 || parent->bf == 1)
{
//對上層無影響，退出
break;
}
//只剩下第三種情況
else
{
//平衡樹出現了問題，需要調整
//1.右邊高，左旋轉調整
if (parent->bf == 2)
{
//此時是第三種情況的情景1
/*
對parent進行左旋轉，迭代
*/
if (parent->right->bf == 1)
{
RotateL(parent);
cur = parent->parent;
parent = cur->parent;
}
//此時是第三種情況的情景3
/*
對subR進行右旋轉，然後對parent進行左旋，迭代
*/
else if (parent->right->bf == -1)
{
Node* subR = parent->right;
Node* subRL = subR->left;
RotateRL(parent);
// 不平衡向上調整 注意：bug1（以為調整完就是1或-1了，其實三種情況調整完均為0，需要繼續向上迭代
if (subRL->bf != 1 && subRL->bf != -1)
{
cur = subRL;
parent = cur->parent;
continue;
}
}
//此時是第三種情況的情景2
/*
對parent進行左旋，然後修改平衡因子，把subR的平衡因子改為-1，
parent的平衡因子改為1，因為subR的平衡因子為-1，所以無需迭代
*/
else if (parent->right->bf == 0)
{
RotateL(parent);
parent->bf = 1;
parent->parent->bf = -1;
}
}
// 2.左邊高，右旋轉調整
else if (parent->bf == -2)
{
// 如果是一條直線==>右旋轉即可
// 如果是一條折線==>左右旋轉
if (parent->left->bf == -1)
{
RotateR(parent);
cur = parent->parent;// bug2 cur要變成這個位置是因為選擇後父親的位置變了，畫圖
parent = cur->parent;
continue;//parent不是-1或1就繼續
}
else if (parent->left->bf == 1)// 調整後 s sR p 如果sR是1或-1可以退出
{
Node* s = parent->left;
Node* sR = s->right;
RotateLR(parent);
// 不平衡向上調整 為0時如果parent為根
if (sR->bf != 1 && sR->bf != -1)
{
cur = sR;
parent = cur->parent;
continue;
}
}
else if (parent->left->bf == 0)// 平衡因子要修改，畫圖感受 parent->_parent: 1 parent: -1
{
RotateR(parent);
parent->parent->bf = 1;
parent->bf = -1;
}
}
// 調整後是平衡樹，bf為1或-1，不需要調整了,因為-1和1才是最後真正平衡的狀態
break;
}
}
}
//AVL樹的查詢
bool Find(const K& key)
{
if (root == nullptr)
return false;
Node* cur = root;
while (cur)
{
// 小於往左走
if (key < cur->key)
{
cur = cur->left;
}
// 大於往右走
else if (key > cur->key)
{
cur = cur->right;
}
else
{
// 找到了
return true;
}
}
return false;
}
//中序遍歷（遞迴）
void InOrder()
{
_InOrder(root);
cout << endl;
}
void _InOrder(Node* root)
{
if (root == NULL)
{
return;
}
else
{
_InOrder(root->left);
cout << root->key << ":" << root->value<<" ";
_InOrder(root->right);
}
}
int _Height(Node* root)
{
if (root == nullptr)
return 0;
int leftHeight = _Height(root->left);
int rightHeight = _Height(root->right);
return 1 + max(leftHeight, rightHeight);
}
bool _IsBalanceTree(Node* root)
{
if (root == nullptr)
return true;
int leftHeight = _Height(root->left);
int rightHeight = _Height(root->right);
return rightHeight - leftHeight == root->bf
&& abs(rightHeight - leftHeight) < 2
&& _IsBalanceTree(root->left)
&& _IsBalanceTree(root->right);
}
public:
Node* root = nullptr;
};
void TestAVLTree1()
{
AVL_Tree<int, int> at;
//srand((size_t)time(nullptr));
int b[] = { 4,3,5,3,1,2,7 };//出錯
//int b[] = { 1,2,3,4,5,6,7,8,9 };正確
//int b[] = { 2,4,6,3,5,1,9,10,8,7 };正確
//int b[] = {4,2,3,5};//出錯,插入3出錯
//int b[] = { 16,3,7,11,9,26,18,14,15 };//出錯
//int b[] = { 4,2,6,1,3,5,15,7,16,14 };//出錯
// int* a = new int[10000];
/*int i = 1;
for (auto& e : a)
{
e = i++;
}*/
vector<int> a;
for (size_t i = 0; i < sizeof(b)/sizeof(int); ++i)
{
// a.push_back(rand());
a.push_back(b[i]);
}
for (auto e : a)
{
at.Insert(e,e);
cout << "插入 " << e << " 後變化 --> Height: " << at._Height(at.root) << " 是否為AVLTree：" << at._IsBalanceTree(at.root)<<endl;
cout << "列印二叉樹： ";
at.InOrder();
}
cout << "------------------------------------------------------" << endl;
// at.InOrder();
for (auto e : a)
{
at.Erase(e);
cout << "刪除 " << e << " 後變化 --> Height: " << at._Height(at.root) << " 是否為AVLTree：" << at._IsBalanceTree(at.root) << endl;
cout << "列印二叉樹： ";
at.InOrder();
}
at.InOrder();
}
int main()
{
TestAVLTree1();
system("pause");
return EXIT_SUCCESS;
}