資料結構 - 二叉樹

fatedeity發表於2022-03-02
資料結構二叉樹

樹的定義

樹的結構

樹是一種抽象資料型別，用來模擬具有樹狀結構性質的資料集合。樹的專業術語比較多，需要了解一下：

  • 樹的結點：包含一個資料元素及若干指向子樹分支的資訊
  • 結點的度：一個結點含有的子樹的數目稱為該結點的度
  • 樹的度：樹中最大的結點度稱為樹的度
  • 葉子結點：也稱終端結點，結點度為零的結點
  • 分支結點：也稱非終端結點，結點度不為零的結點
  • 子結點：一個結點含有的子樹的根結點稱為該結點的子結點
  • 父結點：若一個結點含有子結點，則這個結點稱為其子結點的父結點
  • 兄弟結點：具有相同父結點的結點互稱為兄弟結點
  • 堂兄弟結點：父結點在同一層的結點互為堂兄弟結點
  • 結點的祖先：從根到該結點所經分支上的所有結點
  • 子孫：以某結點為根的子樹中任一結點都稱為該結點的子孫
  • 結點的層次：從根開始定義起，根為第 1 層，根的子結點為第 2 層，以此類推
  • 深度：對於任意結點 n，n 的深度為從根到 n 的唯一路徑長，根的深度為 0
  • 高度：對於任意結點 n，n 的高度為從 n 到葉子結點的最長路徑長，所有葉子結點的高度為 0
  • 森林：由 m(m>=0) 棵互不相交的樹組成的集合稱為森林

二叉樹

樹的結構多種多樣，不過最常用的還是二叉樹。

顧名思義，二叉是指每個結點最多隻有兩個子結點，分別稱為左子結點和右子結點。但是，二叉樹並不要求所有結點必須擁有兩個子結點，有的結點只有左子結點，有的結點只有右子結點。

滿二叉樹

滿二叉樹和完全二叉樹

如圖 a 所示，除葉子結點以外，其餘的結點每個都有 2 個子結點，這種二叉樹被稱為滿二叉樹。

完全二叉樹

如圖 b 所示，除最後一層外，每一層的結點數均達到最大值，而且最後一層的葉子結點都靠左排列，只缺少右邊的若干結點，這種二叉樹被稱為完全二叉樹。

可以看得出，滿二叉樹是一種特殊的完全二叉樹。

二叉查詢樹

二叉查詢樹

二叉查詢樹是一種特殊的二叉樹，常用作搜尋使用，也被稱為二叉搜尋樹、二叉排序樹。

它有可能是一棵空樹，也可能是具有以下性質的二叉樹：

  • 若它的左子樹不空，則左子樹上所有結點的值均小於它的根結點的值
  • 若它的右子樹不空，則右子樹上所有結點的值均大於等於它的根結點的值
  • 它的左、右子樹也分別為二叉查詢樹

二叉查詢樹是一種經典的資料結構，它既具有連結串列快速插入、刪除的特點，又具有陣列快速查詢的優勢。

儲存結構

鏈式儲存

使用連結串列儲存樹的結構是一種比較簡單、直觀的方法。

二叉樹中每個結點最多隻有兩個子結點，因此，可以給結點設計一個資料域和兩個指標域，這兩個指標域分別指向左子結點和右子結點。

二叉樹連結串列結點

這種情況下，使用連結串列作為儲存方式，只要拎住根結點，就可以通過左右子結點的指標，把整棵樹都串起來。

這種方式比較常用，大部分二叉樹程式碼都是通過這種方式實現的。

順序儲存

二叉樹的順序儲存結構是基於陣列實現的，用一維陣列儲存二叉樹中的結點，並且陣列的下標能夠體現出二叉樹結點之間的邏輯關係。

在這個儲存二叉樹結點的陣列中，為了使得後續的結點邏輯關係易於理解，下標為 0 的儲存位置是不使用的。一般是把根結點儲存在 i = 1 的位置上，它的左子結點儲存在 2i = 2 的位置上、右子結點儲存在 2i + 1 = 3 的位置上。以此類推，左子結點的左子結點儲存在 2i = 4 的位置，它的右子結點儲存在 2i + 1 = 5 的位置。

完全二叉樹的順序儲存

總結二叉樹結點在陣列中的邏輯關係：如果結點 x 儲存在陣列中下標為 i 的位置，則結點 x 的左子結點儲存在陣列中下標為 2i 的位置，右子結點儲存在陣列中下標為 2i+1 的位置。

可以發現，上述展示的是一個完全二叉樹，使用陣列儲存完全二叉樹時，會發現除了下標為 0 的位置沒有儲存資料之外，其他的位置都被填滿了。

而如果是非完全二叉樹，則會出現浪費陣列中記憶體空間的情況。如下圖所示：

非完全二叉樹的順序儲存

因此，一般使用順序儲存結構儲存完全二叉樹，在這種情況下，相比較鏈式儲存結構會更節省記憶體。

堆其實就是一種完全二叉樹，最常用的儲存方式就是陣列。

二叉樹的遍歷

二叉樹的遍歷是指從根結點出發，按照某種次序依次訪問二叉樹中的所有結點，使得某個結點僅且被訪問一次。

深度優先遍歷

深度優先遍歷方式是指儘可能深地搜尋樹的分支，即先遍歷到葉子結點再更改搜尋路徑。二叉樹經典的深度優先遍歷方式有三種：前序遍歷、中序遍歷、後序遍歷。

其中，前、中、後序，表示的是結點與它的左右子樹結點遍歷列印的先後順序：

  • 前序遍歷是指，對於樹中的任意結點來說，先列印這個結點，然後再列印它的左子樹，最後列印它的右子樹
  • 中序遍歷是指，對於樹中的任意結點來說，先列印它的左子樹，然後再列印它本身，最後列印它的右子樹
  • 後序遍歷是指，對於樹中的任意結點來說，先列印它的左子樹，然後再列印它的右子樹，最後列印這個結點本身

二叉樹的深度優先遍歷

其實，二叉樹的前、中、後序遍歷就是一個遞迴的過程。比如，前序遍歷就是先列印根結點，然後再遞迴地列印左子樹，最後遞迴地列印右子樹。

下述是遞迴實現前、中、後序遍歷的虛擬碼展示：

void preOrder(Node* root) {
    if (root == null) return;
    // 列印根結點
    print root;
    // 遞迴列印左子樹
    preOrder(root->left);
    // 遞迴列印右子樹
    preOrder(root->right);
}

void inOrder(Node* root) {
    if (root == null) return;
    // 遞迴列印左子樹
    inOrder(root->left);
    // 列印根結點
    print root;
    // 遞迴列印右子樹
    inOrder(root->right);
}

void postOrder(Node* root) {
    if (root == null) return;
    // 遞迴列印左子樹
    postOrder(root->left);
    // 遞迴列印右子樹
    postOrder(root->right);
    // 列印根結點
    print root;
}

除了使用遞迴的方式實現深度優先遍歷外，可以使用棧這種資料結構以非遞迴方式實現，前序遍歷方式如下：

  1. 將 A 結點壓入棧中，棧的結構是 [A]；
  2. 將 A 結點彈出，然後將 A 結點的子結點 B、C 壓入棧中，棧的結構是 [C, B]；
  3. 將 B 結點彈出，然後將 B 結點的子結點 D、E 壓入棧中，棧的結構是 [C, E, D]；
  4. 將 D 結點彈出，D 結點沒有子結點，無需做處理，棧的結構是 [C, E]；
  5. 將 E 結點彈出，E 結點沒有子結點，無需做處理，棧的結構是 [C]；
  6. 將 C 結點彈出，依次類推，最終遍歷完成。

廣度優先遍歷

廣度優先遍歷又稱為層次遍歷，從上往下對每一層依次訪問，在每一層中，從左往右（也可以從右往左）訪問結點，訪問完一層再訪問下一層。

層次遍歷需要使用到佇列這種資料結構，佇列的特點是先進先出。整個遍歷過程如下：

  1. 將 A 結點入隊，佇列的結構是 [A]；
  2. 將 A 結點出隊，然後將 A 結點的子結點 B、C 入隊，佇列的結構是 [B, C]；
  3. 將 B 結點出隊，然後將 B 結點的子結點 D、E 入隊，佇列的結構是 [C、D、E]；
  4. 將 C 結點出隊，然後將 C 結點的子結點 F、G 入隊，佇列的結構是 [D、E、F、G]；
  5. 將 D 結點出隊，D 結點沒有子結點，無需做處理，棧的結構是 [E、F、G]；
  6. 以此類推，最終遍歷完成。

優缺點

對於深度優先遍歷演算法，都是優先搜尋完一顆子樹，有著記憶體佔用相對較小的優點，通常儲存結點數是數的深度；非遞迴的深度優先遍歷方式會進行回溯，相對效率比較低。

對於廣度優先遍歷演算法，對於解決最短或最小問題特別有效，而且結點只訪問一遍，效率相對較高；使用廣度優先演算法需要儲存一層結點的狀態，記憶體佔用相對較高。

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