資料結構（樹）：二叉樹

概述

　　二叉樹是n個有限元素的集合，該集合或者為空、或者由一個稱為根（root）的元素及兩個不相交的、被分別稱為左子樹和右子樹的二叉樹組成，是有序樹。當集合為空時，稱該二叉樹為空二叉樹。在二叉樹中，一個元素也稱作一個結點 。二叉樹（binary tree）是指樹中節點的度不大於2的有序樹，它是一種最簡單且最重要的樹。

二叉樹性質

• 二叉樹的第i層上至多有2^i-1（i≥1）個節點。
• 深度為h的二叉樹中至多含有2^h-1個節點。
• 若在任意一棵二叉樹中，有n₀個葉子節點，有n₂個度為2的節點，則必有n₀=n₂+1。

二叉樹特殊型別

• 滿二叉樹

　　如果一棵二叉樹只有度為0的結點（葉子節點）和度為2的結點，並且度為0的結點在同一層上，則這棵二叉樹為滿二叉樹。滿二叉樹又是特殊的完全二叉樹。

　　滿二叉樹除了具備普通二叉樹的性質，還具備以下性質：

1. 滿二叉樹中第 i 層的節點數為 2^i-1 個。
2. 深度為 h 的滿二叉樹必有 2^h-1 個節點 ，葉子數為 2^h-1。
3. 滿二叉樹中不存在度為 1 的節點，每一個分支點中都兩棵深度相同的子樹，且葉子節點都在最底層。
4. 具有 n 個節點的滿二叉樹的深度為 log₂(n+1)（與第2點對應）。

• 完全二叉樹

　　深度為h，有n個結點的二叉樹當且僅當其每一個結點都與深度為h的滿二叉樹中編號從1到n的結點一一對應時；簡單來說就是二叉樹中除去最後一層節點為滿二叉樹，且最後一層的結點依次從左到右分佈，則此二叉樹被稱為完全二叉樹。

　　二叉樹除了滿足普通二叉樹的性質，還具備以下性質：

1. 具有n個節點的完全二叉樹的深度為(int)log₂n+1。
2. 若對一棵有n個節點的完全二叉樹進行順序編號（1≤i≤n），那麼，對於編號為i（i≥1）的節點：

　　　　當i=1時，該節點為根，它無雙親節點；

　　　　當i>1時，該節點的雙親節點的編號為i/2；

　　　　若2i≤n，則有編號為2i的左節點，否則沒有左節點；

　　　　若2i+1≤n，則有編號為2i+1的右節點，否則沒有右節點。

二叉樹儲存

• 順序儲存

　　順序儲存適用於完全二叉樹，因為完全二叉樹從根節點往下排，可以看成是連續的節點。

　　

• 鏈式儲存

　　

二叉樹遍歷

• 前序遍歷：根節點-->左子節點-->右子節點

    public void preorderTraversal(BinaryTreeNode root){
        if (root == null){
            return;
        }
        print(root);
        if (root.getLeft() != null){
            preorderTraversal(root.getLeft());
        }
        if (root.getRight() != null){
            preorderTraversal(root.getRight());
        }
    }

• 中序遍歷

    public void inOrderTraversal(BinaryTreeNode root){
        if (root == null){
            return;
        }
        if (root.getLeft() != null){
            inOrderTraversal(root.getLeft());
        }
        print(root);
        if (root.getRight() != null){
            inOrderTraversal(root.getRight());
        }
    }

• 後序遍歷

    public void postOrderTraversal(BinaryTreeNode root){
        if (root == null){
            return;
        }
        if (root.getLeft() != null){
            postOrderTraversal(root.getLeft());
        }
        if (root.getRight() != null){
            postOrderTraversal(root.getRight());
        }
        print(root);
    }

• 層次遍歷

    public void levelTraversal(BinaryTreeNode root){
        if (root == null){
            return;
        }
        LinkedList<BinaryTreeNode> queue = new LinkedList<BinaryTreeNode>();
        queue.offer(root);
        while (!queue.isEmpty()){
            BinaryTreeNode node = queue.poll();
            print(node);
            if (node.getLeft() != null){
                queue.offer(node.getLeft());
            }
            if (node.getRight() != null){
                queue.offer(node.getRight());
            }
        }

    }