一、概述

        在某個階段都是兩種結果的情形，比如開和關、0和1、真和假、上和下、對與錯、正面和反面，都適合用一種很特殊的樹狀結構 建來建模，即為二叉樹。定義如下：

1、二叉樹的特點：Degree≤2

2、二叉樹具有五種基本形態：

二、特殊二叉樹

1、斜樹

• 左/右斜樹：所有的結點都只有左/右子樹，統稱為斜樹。
• 特點：每一層都只喲一個結點，結點的個數與二叉樹的深度相同，即Depth=n.
• 線性表結構可以理解為是樹的一種及其特殊的表現形式。

2、滿二叉樹（完美二叉樹）

注意：單是每個節點都存在左右子樹不蹦不能算滿二叉樹，還必須要所有的葉子都在同一層上，這就做到了整棵樹的平衡。

• 滿二叉樹的特點：

3、完全二叉樹

注意理解：滿（完美）和完全

滿二叉樹一定是一棵完全二叉樹，但完全二叉樹不一定是滿的。

舉例說明：

完全二叉樹的特點：

判斷完全二叉樹：

三、二叉樹的性質

• 2^0、2^1、2^2......等比數列：2……i-1
• 用途：計算每次的結點數

• 2^0、2^0+2^1、2^0+2^1+2^2、......等比數列求和：（2^k）-1
• 用途：知道深度求結點數的範圍

• 終端結點就是葉子結點。

    總結點數：n = n0+n1+n2

    總連線數：n-1=2*n2+1*n1+0*n0   注意：n-1代表根節點沒有進入線。

    聯立上邊兩個式子得到：n0=n2+1

• 用途：知道度為2的結點數求葉子結點。

深度和總結點數的關係由性質2可得：n=（2^k）-1，則k=log2(n+1)

深度為k-1的總結點數 <= 總結點數 <= 深度為k的總結點數

即(2^(k-1))-1 < n <= （2^k）-1，因為n為整數，這裡可以去掉等號即為2^(k-1) <= n < 2^k

取對數得：k-1<=log2(n)<k

k為整數，因此k的取值範圍為：

• 用途：知道結點數求深度的範圍

可自行驗證：

• 用途：知道某個編號，求雙親編號、子樹編號，判斷結點有無兄弟，判斷結點是否為葉結點等。

四、二叉樹的儲存結構

1、順序儲存結構：一般只用於完全二叉樹，因為完全二叉樹具有嚴格的定義

用^來表示不存在的結點。

對於不是完全二叉樹的樹，陣列中會有很多^，造成空間浪費，尤其是右斜樹。

2、二叉連結串列

二叉樹每個結點最多有兩個孩子，所有設計一個資料域和兩個指標域，稱為二叉連結串列。

• data：資料域
• lchild：存放左孩子的指標
• rchild：存放右孩子的指標

如有需要，可以增加一個指向雙親的parent指標域，即成為三叉連結串列。

五、遍歷二叉樹

1、訪問

2、遍歷

3、二叉樹遍歷方法

• 前序遍歷

• 中序遍歷

• 後續遍歷

• 層序遍歷

4、研究遍歷的意義：

六、線索二叉樹

        對於一個有n個結點的二叉連結串列，每個結點有指向左右孩子的兩個指標域，一共2n個指標域。而n個結點的二叉樹一共n-1條分支線，也就是存在2n-(n-1)=n+1個空指標域。

        為了利用這些空指標域，提出線索二叉樹。

指向前驅和後繼的指標稱為線索，加上線索的二叉鏈稱為線索連結串列，相應的二叉樹稱為線索二叉樹。

中序遍歷：HDIBEAFCG

所有的空指標域中的rchild改為指向它的後繼結點，lchild改為指向它的前驅結點。如下：

線索二叉樹，等於是把一課二叉樹轉變成了一個雙向連結串列，這樣對插入刪除結點、查詢某個結點都帶來了方便。對其遍歷，其實就等於是操作一個雙向連結串列結構。

線索化：對二叉樹以某種次序遍歷使其變為線索二叉樹的過程。

此時遇到一個問題：lchild指向的是它的左孩子還是指向前驅，rchild指向的是它的右孩子還是指向後繼？

因此增設兩個標誌域（boolean）：ltag和rtag，只能存放0和1。

七、樹、森林與二叉樹的轉換

1、樹——二叉樹

2、森林——二叉樹

3、二叉樹——樹

4、二叉樹——森林

5、樹與森林的遍歷

八、哈弗曼樹

最基本的壓縮編碼方法——哈弗曼編碼

1、哈弗曼樹

• 路徑長度：從樹中一個結點到另一個結點之間的分支構成兩個結點之間的路徑，路徑上的分支數目稱作路徑長度。
• 樹的路徑長度：從樹根到每一結點的路徑長度之和。

a樹的路徑長度為20，b樹的路徑長度為16。

考慮帶權的結點：

• 結點的帶權的路徑長度：該結點到樹根之間的路徑長度與結點上權的乘積。
• 樹的帶權路徑長度：樹中所有葉子結點的帶權路徑長度之和。

2、構造哈弗曼樹的步驟：

3、哈夫曼編碼