資料結構中的樹(二叉樹、二叉搜尋樹、AVL樹)

JonPan發表於2020-08-04

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樹的概念

樹（英語：tree）是一種抽象資料型別（ADT）或是實作這種抽象資料型別的資料結構，用來模擬具有樹狀結構性質的資料集合。它是由n（n>=1）個有限節點組成一個具有層次關係的集合。把它叫做“樹”是因為它看起來像一棵倒掛的樹，也就是說它是根朝上，而葉朝下的。它具有以下的特點：

每個節點有零個或多個子節點；
沒有父節點的節點稱為根節點；
每一個非根節點有且只有一個父節點；
除了根節點外，每個子節點可以分為多個不相交的子樹；
節點的度：一個節點含有的子樹的個數稱為該節點的度；
樹的度：一棵樹中，最大的節點的度稱為樹的度；
葉節點或終端節點：度為零的節點；
父親節點或父節點：若一個節點含有子節點，則這個節點稱為其子節點的父節點；
孩子節點或子節點：一個節點含有的子樹的根節點稱為該節點的子節點；
兄弟節點：具有相同父節點的節點互稱為兄弟節點；
節點的層次：從根開始定義起，根為第1層，根的子節點為第2層，以此類推；
樹的高度或深度：樹中節點的最大層次；
堂兄弟節點：父節點在同一層的節點互為堂兄弟；
節點的祖先：從根到該節點所經分支上的所有節點；
子孫：以某節點為根的子樹中任一節點都稱為該節點的子孫。
森林：由m（m>=0）棵互不相交的樹的集合稱為森林；

二叉樹

每個節點最多含有兩個子樹的樹稱為二叉樹

平衡二叉樹（AVG樹）: 當且僅當任何節點的兩棵子樹的高度差不大於1的二叉樹
完全二叉樹: 對於一顆二叉樹，假設其深度為d(d>1)。除了第d層外，其它各層的節點數目均已達最大值，且第d層所有節點從左向右連續地緊密排列，這樣的二叉樹被稱為完全二叉樹，其中滿二叉樹的定義是所有葉節點都在最底層的完全二叉樹;
排序二叉樹: (二叉查詢數 Binary Search Tree), 也稱二叉搜尋樹，有序二叉樹，任意一個結點左邊子節點的資料要比根結點的值小，右邊子節點的資料要比根結點的值大。但是如果二叉樹是單增的情況會退化成連結串列

二叉樹的遍歷

深度優先遍歷

先序遍歷 preorder 在先序遍歷中，我們先訪問根節點，然後遞迴使用先序遍歷訪問左子樹，再遞迴使用先序遍歷訪問右子樹根節點->左子樹->右子樹
中序遍歷 inorder 在中序遍歷中，我們遞迴使用中序遍歷訪問左子樹，然後訪問根節點，最後再遞迴使用中序遍歷訪問右子樹左子樹->根節點->右子樹
後序遍歷 postorder 在後序遍歷中，我們先遞迴使用後序遍歷訪問左子樹和右子樹，最後訪問根節點左子樹->右子樹->根節點
)

廣度優先遍歷（層次遍歷）

二叉樹反推

如果已知中序和先序，或者中序和後序，可以確定二叉樹的結構

eg:
先序：A B C D E F
中序: C B A E D F

先序找根，中序定兩邊
先序遍歷序列為ABCDEF，第一個字母是A被列印出來，就說明A是根結點的資料。
再由中序遍歷序列是CBAEDF，可以知道C和B是A的左子樹的結點，
E、D、F是A的右子樹的結點

然後我們看先序中的C和B，它的順序是ABCDEF，B是在C的前面列印，所以B應該是A的左孩子，而C就只能是B的孩子，此時是左還是右孩子還不確定。再看中序序列是CBAEDF，C是在B的前面列印，這就說明C是B的左孩子，否則就是右孩子了

再看先序中的E、D、F，它的順序是ABCDEF，那就意味著D是A結點的右孩子，E和F是D的子孫，注意，它們中有一個不一定是孩子，還有可能是孫子的。再來看中序序列是CBAEDF，由於E在D的左側，而F在右側，所以可以確定E是D的左孩子，F是D的右孩子

注：如果已經先序和後序無法判斷二叉樹結構

先序序列:ABC

後序序列:CBA

我們可以確定A一定是根結點，但接下來，我們無法知道，哪個結點是左子樹，哪個是右子樹

二叉查詢樹(二叉搜尋樹)

節點的左子樹只包含小於當前節點的數。

節點的右子樹只包含大於當前節點的數。

所有左子樹和右子樹自身必須也是二叉搜尋樹

Python實現二叉查詢樹

參考以下兩篇文章（最好是自己畫圖容易理解）:

二叉平衡樹

Python實現平衡二叉樹刪除和新增調整的是最小不平衡子樹

平衡二叉樹（Height-Balanced Binary Search Tree）是一種二叉排序樹，

其中每一個結點的左子樹和右子樹的高度差不超過1（小於等於1）

二叉樹的平衡因子（Balance Factor）等於該結點的左子樹深度減去右子樹深度的值稱為平衡因子。平衡因子只可能是[－1，0，1]。距離插入結點最近的，且平衡因子的絕對值大於1的結點為根的子樹，稱為最小不平衡子樹

平衡二叉樹就是二叉樹的構建過程中，每當插入一個結點，看是不是因為樹的插入破壞了樹的平衡性，若是，則找出最小不平衡樹。在保持二叉樹特性的前提下，調整最小不平衡子樹中各個結點之間的連結關係，進行相應的旋轉，使之成為新的平衡子樹。簡記為： 步步調整，步步平衡

參考以下兩篇文章（最好是自己畫圖）:

注：第一篇文章中針對左右失衡和右左失衡的處理圖片和程式碼中有誤，但是主要是看個人理解，作者可以只對根節點進行失衡處理，而我這邊是按照第二篇文章說的，調整最小不平衡子樹

對於其中新增元素的遞迴程式碼的理解:

霍夫曼樹

（用於資訊編碼）：帶權路徑最短的二叉樹稱為哈夫曼樹或最優二叉樹；
應用: 壓縮檔案

B樹(B-Tree)

一種對讀寫操作進行優化的自平衡的二叉查詢樹，能夠保持資料有序，擁有多餘兩個子樹。B樹是多路平衡查詢樹，2階B樹才是平衡二叉樹
應用: 資料庫儲存

M階的Btree的幾個重要特性：

節點最多含有m棵字樹(指標), m-1個關鍵字(存的資料，空間)（m > 2）
除根節點和葉子節點外，其他每個節點至少有ceil（m / 2）個子節點，（ceil為上取整）
若根節點不是葉子節點，則至少有兩棵子樹

M階: 這個由磁碟的頁大小決定，頁記憶體是4KB, 好處是一次性取資料就可以取出這個節點即這個頁資料，不會造成IO讀取的浪費。

B+Tree

每個節點最多有m個子節點
除根節點外，每個節點至少有m/2個子節點，注意如果結果除不盡，就取上蒸，如 5/2=3
根節點要麼是空，要麼是獨根，否則至少有2個子節點
有k個子節點的節點必有k個關鍵字
葉節點的高度一致

適合大資料的磁碟索引，經典的MySQL，所有的資料都存在葉子節點，其他上層節點都是索引，增加了系統的穩定性以及遍歷查詢效率。葉子節點之間是雙向指標，這一點就有利於範圍查詢。

MyISAM儲存引擎的資料結構（非聚集）

索引檔案和資料檔案是分離的，非聚集（非聚族）

.MYD 儲存資料的檔案

.MYI 儲存索引的檔案

.FRM 表結構檔案，管理索引和資料的框架

InnoDB索引的實現（聚集）

表資料本身就是按B+Tree組織的一個索引結構檔案
聚集索引-葉子節點包含了完整的資料記錄，索引跟資料合併，MySQL預設節點大小為16KB，所以說高度為3的B+樹就能夠儲存千萬級別的資料。
為什麼InnoDB表必須有主鍵，並且推薦使用整形的自增主鍵？
- 整形儲存佔用比較少，且比較容易，如果是uuid字串還需要進行轉換且佔用空間大
- 使用自增是為了避免二叉樹的頻繁自平衡分裂，自增主鍵，只需要每次都忘後面增加即可，不會造成大範圍的效能開銷
為什麼非主鍵索引結構葉子節點儲存的是主鍵值？（一直性）